§ 4. Одномерный кристалл

Простая модель. Можно представлять себе кристалл как большую многоатомную молекулу, каким-то образом упорядоченную в трехмерном объеме. Имеет смысл начать рассмотрение этой молекулы с изучения простейшей одномерной модели, состоящей из одинаковых атомов, равномерно расположенных вдоль некоторой линии, как показано на фиг. 8.2. Положим массу каждого атома равной единице и обозначим смещение -го атома от его положения равновесия через . Предположим, что движение атомов может происходить лишь вдоль линии, по которой они расположены, т. е. ограничимся рассмотрением их продольного движения. Допустим далее, что каждый атом взаимодействует лишь с соседним атомом, что потенциал взаимодействия равен  и зависит только от расстояния  между атомами (т. е. что атомы как бы соединены друг с другом пружинами). При равновесии расстояние между атомами соответствует, очевидно, минимуму потенциала. Примем этот минимум за нуль отсчета энергии. Если  - величина смещения атома от положения равновесия, то можно разложить этот потенциал в степенной ряд по  таким же образом, как это делалось в выражении (8.32). При этом ограничимся такими малыми смещениями, чтобы все члены порядка выше второго в разложении можно было отбросить. Смещение атомов  и  от положения равновесия можно записать так: . Обозначим вторую производную потенциала по величине смещения через  (величина, одинаковая для всех атомов системы). Тогда потенциальная энергия, связанная с таким смещением, равна

,                  (8.66)

и лагранжиан может быть записан как

.                 (8.67)

Если положения первого и последнего атомов не фиксированы, то член с  в выражении для потенциальной энергии должен быть опущен.

Фиг. 8.2. Модель одномерного «кристалла», в которой массы частиц расположены вдоль прямой и соединены между собой упругими связями - «пружинами».

Вытекающие из этого лагранжиана уравнения движения атомов в одномерной модели имеют вид

                (8.68)

для всех , за исключением крайних значений  и . Тот факт, что частицы, расположенные в концах системы, должны рассматриваться отдельно, в большинстве задач приводит лишь к незначительным трудностям. Обычно интересуются такими свойствами движений (а тела можно считать настолько большими), что влиянием поверхностных (или граничных) эффектов можно пренебречь. В таких случаях основные результаты действительно не будут зависеть от реальных граничных условий, т. е. от того, будут ли граничные атомы свободными или связанными, и т. д. Чтобы вообще исключить эту проблему, в теоретической физике, используется предположение о существовании особой системы простых граничных условий, так называемых периодических граничных условий, так что необходимость в рассмотрении граничных точек отпадает. Досадно, конечно, что такие специальные граничные условия в действительности выполняются редко (если они вообще выполняются), однако для явлений, которые не зависят от граничных эффектов, этот прием вполне оправдан.

Смысл его состоит в том, что цепочка атомов продолжается и дальше, за -й атом, причем предполагается, что смещение -го атома всегда точно совпадает со смещением -го атома. Таким образом, граничное условие можно записать как

.                  (8.69)

Такое граничное условие заведомо будет выполняться, если исходную цепь атомов замкнуть в кольцо, подобно ожерелью из жемчужин. Однако в трехмерном случае это уже невозможно и граничные условия необходимо рассматривать только лишь как некоторый искусственный прием.

Таков смысл наших специальных граничных условий. Более общие случаи, например когда крайний атом связан с твердой стенкой или же остается свободным и т. д., сопровождаются отражением волн, пробегающих по системе. Такого отражения не будет лишь в случае, когда крайний атом взаимодействует с атомом другой системы, имеющей аналогичные характеристики.

Таким образом, наши граничные условия можно сравнить с введением некоторой линии, сопротивление которой подавляет отражение. Подобное сопротивление, по сути дела, эквивалентно наличию некоторой бесконечной дополнительной линии. В нашем случае мы согласуем один конец системы с другим, связывая ее в кольцо. Эти граничные условия мы называли периодическими, поскольку все происходящее в -й точке системы повторяется снова в -й точке, еще раз в -й и т. д. При таком граничном условии уравнение (8.68) удовлетворяется для всех атомов системы.

Решение классических уравнений движения. Предположим, что смещение  периодически повторяется с частотой . Тогда нам нужно решить систему уравнений

.                       (8.70)

Мы можем свернуть эти уравнения в определитель и преобразовать полученное детерминантное уравнение так, чтобы применить для отыскания решения известные теоремы математики. Однако ясно, что данные уравнения могут быть решены непосредственно, и это легче всего проделать указанным ниже способом.

Договоримся, что символ  будет означать лишь , и не будем применять его для обозначения индексов. Решение имеет форму

,                  (8.71)

где  - некоторое постоянное. Это решение может быть проверено непосредственной подстановкой его в уравнения (8.70). Частота здесь определяется выражением

.                       (8.72)

Мы определили величину , выразив ее через . Однако некоторые значения  здесь выброшены. Периодическое граничное условие требует, чтобы , где  (случай  соответствует простому сдвигу цепочки, и мы можем, если пожелаем, не рассматривать его; более того, случай  совпадает с тем, что происходит при ). Таким образом, для любого частного значения  можно выразить частоту в виде

.                     (8.73)

Амплитуда -координаты, соответствующая этой частоте, равна

.                     (8.74)

Постоянные определенные последним соотношением, - комплексные числа. Вместо них можно было бы ввести действительные величины, комбинируя решения для  и  (или для  и ). Однако нам удобнее оставить их в комплексной форме. Кроме того, нам будет удобно рассматривать как положительные, так и отрицательные значения ; при этом следует учесть, что если  является нечетным, то для рассмотрения области изменения  лучше взять пределы от  до , нежели от 0 до .

Относительные смещения атомов цепочки зависят от величины . Например, для двух значений , одно из которых мало, а другое соответствует величинам порядка , мы получим различные картины движения, как это показано на фиг. 8.3.

Фиг. 8.3. Два случая колебаний.

Сдвиг атомов вдоль цепочки изображается смещениями по ординате от линии равновесного положения атомов равномерно распределенными вдоль оси абсцисс. Наверху длина волны велика по сравнению с расстоянием между атомами ( мало); внизу  и смещения уже не имеют вида гладкой синусоидальной волны.

Относительная величина постоянных  определена выражением (8.74), но у нас еще остается свобода в выборе нормировки, т. е. в определении константы . Найдем ее значение из нормировочного соотношения, аналогичного соотношению (8.48), т. е. выберем  так, чтобы

;                   (8.75)

отсюда следует

.                   (8.76)

Теперь мы уже можем по аналогии с выражением (8.42) выразить различные моды через нормальные координаты:

,                (8.77)

где

.

Эти координаты будут также комплексными, но поскольку при подстановке этих величин лагранжиан должен быть действительным, запишем его в виде

.                      (8.78)

Видимо, подобное использование комплексных координат  нуждается в некоторых объяснениях. Поскольку физические координаты  - действительные величины, то соотношение (8.77) подразумевает, что . Поэтому, хотя для определения каждой комплексной переменной  необходимо иметь два действительных числа, т. е. всего  чисел, нам из них нужны только  независимых чисел. Если бы мы предпочли пользоваться действительными координатами, то можно было ввести их следующим образом:

                       (8.79)

,                        (8.80)

где  изменяется теперь уже только от 0 до . В этом случае такие, например, выражения, как кинетическая энергия, будут иметь вид

.                  (8.81)

Множитель 1/2 возникает в выражении (8.78), поскольку мы суммируем по всем значениям , положительным и отрицательным, учитывая при этом каждый член дважды, так как . Таким образом, квадратичное выражение, полученное ранее для действительных величин, теперь выглядит уже как произведение сопряженных комплексных чисел [см., например, (8.75)].

Задача 8.3. Покажите, что  и  - нормальные координаты, представляющие соответственно стоячие волны  и , т. е. что для нечетных

.                   (8.82)

Задача 8.4. Выразив начальную волновую функцию через координаты  и , покажите, что волновая функция основного состояния, соответствующего лагранжиану (8.78), может быть представлена в виде

,               (8.83)

где  - постоянная.

Задача 8.5. Матричный элемент перехода, в котором используется одна и та же волновая функция для начального и конечного состояний, называется ожидаемой величиной. Таким образом, ожидаемая величина функционала  в состоянии , заданном выражением (8.83), равна

.               (8.84)

Покажите, что имеют место следующие ожидаемые величины:

              (8.85)

Таким образом, с помощью лагранжиана, выраженного через нормальные координаты, нам удалось свести рассмотрение системы к рассмотрению набора независимых простых гармонических осцилляторов. Квантовомеханическая часть решения здесь получается совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая многоатомной молекулы. При этом нам необходимо знать только квантовомеханическое решение для свободного гармонического осциллятора.

Задача 8.6. Покажите, что константы  будут теми же и тогда, когда связь атомов осуществляется не непосредственно с ближайшими соседями, а имеет некоторое протяжение и данный атом посредством постоянной взаимодействия  оказывается связанным с удаленным от него -м атомом. Предполагая, что величина  быстро убывает с ростом , определите частоту  при наличии подобной связи, т. е. когда потенциальная энергия определяется уже не выражением (8.66), а другим, подобным ему, но учитывающим относительные смещения всех возможных пар (каждое из которых умножается на соответствующее ), т. е. .