§ 1. Классическая электродинамика
Уравнения
Максвелла.
Начнем изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических
уравнений Максвелла.
Пусть
магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для
свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид
, (9.2)
, (9.3)
, (9.4)
, (9.5)
где
-
напряженность электрического поля,
- напряженность магнитного поля,
- скорость света,
- плотность тока и
- плотность заряда.
Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т. е. когда
. (9.6)
Из
уравнения (9.4) следует, что пока
можно записать как ротор некоторого
вектора
:
. (9.7)
Это
соотношение еще не полностью определяет вектор
, однако эту неоднозначность можно
устранить, полагая
. (9.8)
Такой
выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную
релятивистскую четырехмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что
результаты, полученные с помощью (9.8), не являются
релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины
; скорее их инвариантность
не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское
приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям,
соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение
основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно
упростится, если принять условие (9.8).
Подставив
в уравнение
(9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может
быть представлено в виде градиента некоторого потенциала
. (9.9)
Уравнения
(9.2)-(9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8)
и (9.9) мы видим, что
. (9.10)
Если
, то
и
. При этом из уравнения (9.3),
если
,
следует
(9.11)
[так
как
]. Таким
образом, каждая компонента вектора
удовлетворяет волновому уравнению.
Если
разложить вектор
в
ряд по бегущим плоским волнам
, (9.12)
то
уравнение для амплитуды
запишется как
; отсюда следует, что каждая
компонента
-
амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой
. Однако в действительности
существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора
в направлении
должна быть равна
нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде
. (9.13)
Таким
образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных
гармонических осцилляторов, причем каждому значению
будут соответствовать две
поперечные волны.
Задача
9.1. Покажите, что в плоской волне векторы
,
и
взаимно перпендикулярны.
Решение
уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы
и
, а также плотности заряда и
тока по плоским волнам:
(9.14)
Задача
9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду
, находящемуся в точке
в момент времени
, имеет вид
.
Покажите,
что Фурье-образ плотности заряда
. (9.15)
Легко
видеть, что плотность тока
равна
. Если мы имеем систему зарядов
, расположенных в
точках
, то
выражения для
и
запишутся в
виде
. (9.16)
При
этом условие (9.13) остается справедливым, и им можно воспользоваться для
упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора
равен
, соответствующий
коэффициент для вектора
равен
, наконец, коэффициент разложения
имеет вид
, поэтому
(9.17)
или
. Функция
полностью определяется
плотностью заряда
,
и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные
уравнения, содержащие, например,
.
Задача
9.3. Докажите, что соотношение
означает следующее: величина
в любой момент времени
представляет собой
кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например,
плотность
соответствует
некоторой совокупности зарядов
, отстоящих на расстояние
от некоторой точки, то
потенциал
в
этой точке равен
.
Именно
в этом и заключается смысл уравнения (9.10).
Уравнение
(9.3), которое нужно еще решить, запишем в виде
. (9.18)
При
этом учтем, что
и
. Далее,
применив равенство (9.17), заменим
на
и будем иметь
, (9.19)
где
величину
можно
назвать поперечной частью тока
. Из закона сохранения тока (9.6) следует,
что
, поэтому
. (9.20)
Последнее
равенство означает, что
равно разности тока
и его компоненты по направлению
вектора
.
Очевидно,
.
Мы,
безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать
мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого
значения вектора
вся
картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний
каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила,
равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если
выбрать два направления, перпендикулярных вектору
, и обозначить компоненты
по этим направлениям
как
и
, то уравнения
Максвелла запишутся в виде
, (9.21)
, (9.22)
где
и
- компоненты вектора
тока
по
соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах
вектора
, а
не вектора
?).
Принцип
наименьшего действия.
В квантовой электродинамике предполагается, что описываемые уравнениями (9.21)
и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно
записать принцип наименьшего действия, который дает нам уравнения
электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим
полное действие как сумму
. (9.23)
Здесь
(9.24)
-
действие для всех частиц без учета поля (если между частицами действуют и
другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие
);
(9.25)
-
действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;
(9.26)
-
действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции
,
и
.
Задача
9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из
условия экстремальности действия (
с точностью до первого порядка в
разложении по
).
Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного
выражением (9.23), если потребовать выполнения условия
в первом порядке вариаций по
переменным
и
.
Так
как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных
, то удобно выразить и
действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия
дает
(9.27)
а
действие
при
этом принимает вид
. (9.28)
После
подстановки в эти выражения Фурье-образа потенциала
члены, содержащие
, дают в сумме
. (9.29)
Здесь
мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла
. Выражение (9.29) в
точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно
обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным
излучением. Включим его в функцию действия для частиц
(9.30)
и
запишем
.
Таким образом мы разделили действие
для электромагнитного поля на две части.
Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским
взаимодействием; оставшуюся часть назовем действием
, которое соответствует полю
излучения (учет излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю,
например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия
электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого
взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее
полю излучения, получится, если из функции действия
выбросить члены, содержащие
. В результате получим
, (9.31)
а
это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения.
Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно
. (9.32)
Простая
вариация полного действия
по переменным
и
дает уравнения движения (9.21) и (9.22).
В
развернутом виде действие
записывается так:
, (9.33)
где
и
- поперечные (по
отношению к вектору
)
компоненты вектора
.
Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической
электродинамики получаются из требования, чтобы действие
, представленное суммой
выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль
траекторий, заданных переменными
,
,
. Переход к квантовой электродинамике
осуществляется путем интегрирования по этим траекториям экспоненты
и рассматривается в §
2.