§ 1. Классическая электродинамика

Уравнения Максвелла. Начнем изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.

Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид

,               (9.2)

,                     (9.3)

,                   (9.4)

,                     (9.5)

где  - напряженность электрического поля,  - напряженность магнитного поля,  - скорость света,  - плотность тока и  - плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т. е. когда

.               (9.6)

Из уравнения (9.4) следует, что пока  можно записать как ротор некоторого вектора :

.                 (9.7)

Это соотношение еще не полностью определяет вектор , однако эту неоднозначность можно устранить, полагая

.                   (9.8)

Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырехмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины ; скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).

Подставив  в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала

.                  (9.9)

Уравнения (9.2)-(9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что

.             (9.10)

Если , то  и . При этом из уравнения (9.3), если , следует

                 (9.11)

[так как ]. Таким образом, каждая компонента вектора  удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор  в ряд по бегущим плоским волнам

,            (9.12)

то уравнение для амплитуды  запишется как ; отсюда следует, что каждая компонента  - амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой . Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора  в направлении  должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

.                   (9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причем каждому значению  будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы ,  и  взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы  и , а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

              (9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду , находящемуся в точке  в момент времени , имеет вид

.

Покажите, что Фурье-образ плотности заряда

.              (9.15)

Легко видеть, что плотность тока  равна . Если мы имеем систему зарядов , расположенных в точках , то выражения для  и  запишутся в виде

.                   (9.16)

При этом условие (9.13) остается справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора  равен , соответствующий коэффициент для вектора  равен , наконец, коэффициент разложения  имеет вид , поэтому

              (9.17)

или . Функция  полностью определяется плотностью заряда , и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, .

Задача 9.3. Докажите, что соотношение  означает следующее: величина  в любой момент времени  представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность  соответствует некоторой совокупности зарядов , отстоящих на расстояние  от некоторой точки, то потенциал  в этой точке равен .

Именно в этом и заключается смысл уравнения (9.10).

Уравнение (9.3), которое нужно еще решить, запишем в виде

.                   (9.18)

При этом учтем, что  и . Далее, применив равенство (9.17), заменим  на  и будем иметь

,              (9.19)

где величину  можно назвать поперечной частью тока . Из закона сохранения тока (9.6) следует, что , поэтому

.               (9.20)

Последнее равенство означает, что  равно разности тока  и его компоненты по направлению вектора . Очевидно, .

Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора  вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору , и обозначить компоненты  по этим направлениям как  и , то уравнения Максвелла запишутся в виде

,                    (9.21)

,                   (9.22)

где  и  - компоненты вектора тока  по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора , а не вектора ?).

Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который дает нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму

.                    (9.23)

Здесь

                (9.24)

- действие для всех частиц без учета поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие );

                      (9.25)

- действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;

                      (9.26)

- действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции ,  и .

Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия ( с точностью до первого порядка в разложении по ). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия  в первом порядке вариаций по переменным  и .

Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных , то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия  дает

(9.27)

а действие  при этом принимает вид

.                        (9.28)

После подстановки в эти выражения Фурье-образа потенциала  члены, содержащие , дают в сумме

.                    (9.29)

Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла . Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением. Включим его в функцию действия для частиц

                       (9.30)

и запишем . Таким образом мы разделили действие  для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовем действием , которое соответствует полю излучения (учет излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия  выбросить члены, содержащие . В результате получим

,                (9.31)

а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно

.              (9.32)

Простая вариация полного действия  по переменным  и  дает уравнения движения (9.21) и (9.22).

В развернутом виде действие  записывается так:

,                        (9.33)

где  и  - поперечные (по отношению к вектору ) компоненты вектора . Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие , представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными , , . Переход к квантовой электродинамике осуществляется путем интегрирования по этим траекториям экспоненты  и рассматривается в § 2.