§ 5. Электрон в поле излучения

Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором  (например, атом водорода с бесконечно тяжелым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток .

В данном случае ток  содержит , поэтому в соответствии с § 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность. Поправка к энергии  содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости . Выражая  (подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 7) через оператор импульса , получаем

      (9.71)

Задача 9.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту ?

Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона. В этом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности, - к массе . Это и есть так называемая электромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если  и  - импульсы электрона соответственно в состояниях  и , то матричный элемент  всегда равен нулю, за исключением случая , где он равен . Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка  здесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выражения (9.71).

Затруднения с короткими волнами. Однако это еще не все. Когда мы выделяли в  член, содержащий , уже указывалось, что этот член соответствует взаимодействию точечных зарядов , однако не было отмечено, что при этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с . Действительно, для отдельной частицы , поэтому   и в выражение  войдет интеграл . Здесь и выше в  расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьезной трудностью: интегралы по импульсу  оказываются квадратично расходящимися, квантовая электродинамика дает бессмысленный результат.

Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не изменяется) не избавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при этом измениться.

Для частицы с нулевым спином, подобной -мезону, степень расходимости не изменяется и по-прежнему остается квадратичной. Здесь, однако, мы имеем возможность определить экспериментальное значение поправки к массе. Насколько известно, заряженный и нейтральный -мезоны различаются только зарядом, т. е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других взаимодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального -мезонов (их массы равны соответственно  и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно  Мэв, т. е. равно энергии, заключенной в электромагнитном поле.

Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом  (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае  значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное . Если это значение приравнять величине , т. е. положить , то для  получим оценку

,

где  - масса протона. (Релятивистская теория дает  при обрезании приблизительно на том же значении ). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, большими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел. Эти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны  которых меньше чем  см.

Согласно теории Дирака, электрон, спин которого равен 1/2, должен обладать определенным магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию. Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмически. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнера.

Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный момент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тяжелее протона. Если расходящиеся интегралы обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение разности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины  кэв [25]. Массовые различия между различными частицами - протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным -гиперонами и т. д. - бросают серьезный вызов современной физике и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления. Мы не знаем, что на самом деле ошибочно: квантовая электродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершенная полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).