§ 5. Приближение непрерывной среды

Параметры мод, которые мы определяли до сих пор, соответствуют случаю, когда каждый атом совершает колебания с некоторым фазовым сдвигом по отношению к другому атому рассматриваемой цепочки, т. е. когда по цепочке атомов бежит волна колебаний. Если фазовый сдвиг между соседними атомами мал, то длина волны велика.

Поведение атомов в таких длинноволновых модах представляет особый интерес. Если длина волны существенно превосходит расстояния между атомами, то этими расстояниями можно пренебречь. В таком случае движение очень хорошо описывается с помощью модели «непрерывной среды». Цепочка атомов здесь может быть представлена как непрерывный стержень с усредненными определенным образом свойствами, такими, как масса, приходящаяся на единицу длины  (вспомним, что массу каждого атома мы положили равной единице). Разумеется, с физической точки зрения реальный стержень на самом деле является дискретным набором атомов. Однако в этом параграфе мы будем рассматривать приближение непрерывной среды, заменив цепочку атомов сплошной струной.

Для некоторой моды с индексом  фазовый сдвиг между смежными атомами равен , так что волна охватывает  атомов; если  - расстояние между соседними атомами при равновесии, то длина волны равна . Волновое число

.                      (8.86)

Волновой подход позволяет математически более четко представить себе движение, но для этого нужно немного изменить обозначения. Каждой моде мы припишем свое значение  взамен употреблявшегося ранее индекса . Тогда суммирование по модам (по индексам ) перейдет в сумму по дискретным величинам , которые будут целыми числами, умноженными на  (где  - полная длина струны). Предположим, что  определяет равновесное положение -го атома. Тогда уравнения, описывающие движение атома, принимают вид

,                       (8.87)

,              (8.88)

,                        (8.89)

и

.                      (8.90)

Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Выше мы уже видели, что условием такой ситуации является . Если обозначить произведение , то для малых  имеем . В этом случае можно представлять себе координаты  как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т. е. определять смещение -го атома, как это показано на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения  и  приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию  как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке. Нормальная координата  является Фурье-образом функции , т. е. уравнение (8.88) можно заменить на

.                 (8.91)

Эта замена основывается на приближенном соотношении

,             (8.92)

которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно

,                   (8.93)

приводит нас к обратному преобразованию

.                  (8.94)

Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения -го атома равным , т. е. , где  - масса атома, равная . Пусть  - Фурье-образ величины , т. е.

;            (8.95)

тогда обратное преобразование даст

.               (8.96)

Нормальной координатой теперь будет ; через прежнюю нормальную координату  она выражается так:

.              (8.97)

Выражение для кинетической энергии, куда входит величина , можно получить с помощью соотношения (8.92):

.                (8.98)

Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать

.                (8.99)

Это означает, что потенциальная энергия равна

.              (8.100)

В последнем равенстве используем константу , которую принято называть коэффициентом упругости. Определить ее физически можно следующим образом. Предположим, что мы растягиваем цепочку атомов, которая имеет длину , и при этом единичный элемент удлиняется на отрезок , т. е. новая длина системы составит . (Мы рассматриваем статическое растяжение, а не вибрацию.) Это означает, что расстояние между каждой парой атомов увеличится до  и, следовательно, разность смещений смежных атомов будет равна

.                (8.101)

Используя выражение (8.66), мы получаем величину потенциальной энергии, запасенной в струне при растяжении

   (8.102)

Таким образом, в пределе при малом  сила, необходимая для растяжения струны, равна

.                (8.103)

Последнее равенство дает напряжение в струне, когда деформация (растяжение на единицу длины) равна . Итак, мы имеем

.                   (8.104)

Комбинируя выражения (8.98) и (8.100), можно записать лагранжиан так:

.             (8.105)

Фундаментальные моды, которые мы здесь рассматриваем, имеют вид , а нормальные координаты имеют вид . Читатель может самостоятельно показать, что если выразить лагранжиан через эти нормальные координаты, то получится

.                 (8.106)

Систему, которая описывается этим лагранжианом, можно интерпретировать как некий набор гармонических осцилляторов; при этом каждому осциллятору соответствует свое значение . В принятом нами приближении непрерывной среды  является непрерывной переменной, пробегающей бесконечное число значений. Можно было бы снова вернуться к картине дискретного расположения атомов, вспомнив, что интеграл по  на самом деле является суммой по дискретным значениям , причем соседние значения  отличаются друг от друга на величину  ( - длина струны), а общее число их равно числу атомов в системе. Уравнения движения можно выразить в непрерывных переменных, если найти экстремум для интеграла действия . Используя лагранжиан  из выражения (8.105), получаем

.                  (8.107)

С помощью рассуждений, подобных выводу соотношения (8.99), можно показать, что это уравнение аналогично ранее полученному уравнению движения (8.68). Уравнение (8.107) имеет решение

,                        (8.108)

в точности совпадающее с выражением (8.71), где

,                 (8.109)

и в полном соответствии с выражениями (8.70) и (8.74)

.                (8.110)

Сопоставляя между собой (8.109) и (8.110), мы видим, что частота  аналогична частоте, определяемой выражением (8.90), которое фактически сводится к этому значению в пределе при малых .

Движение, описываемое решением (8.108), где коэффициент  определяется формулой (8.110), соответствует бегущей волне, движущейся со скоростью , т. е., говоря точнее,  определяет скорость, с какой распространялся бы звук вдоль этой цепочки атомов. На самом же деле в системе наблюдается дисперсия, т. е.  не будет пропорциональна . Для длин волн порядка атомных расстояний, подобное отклонение от пропорциональности будет уже существенным, что видно из выражения (8.90).