§ 2. Характеристические функции

Полезно и дальше использовать аналогию между функционалом вероятности траектории и более привычной функцией распределения. Оба эти подхода имеют некоторые общие понятия, например понятие среднего значения. В случае обычных функций распределения дискретных величин, когда вероятность обнаружения некоторого числа  равна , среднее значение определяется как

.                 (12.4)

Для непрерывно распределенных переменных

.                    (12.5)

Аналогичным образом среднее значение функционала  определим как

.               (12.6)

В последнем соотношении, как и в гл. 7, мы включили в знаменатель интеграл по траекториям, который напоминает нам, что мы всегда должны иметь дело с проблемой нормировки. В принципе можно было бы с самого начала вычислить интеграл по траекториям от функции распределения, приравнять его единице и определить нормировочную постоянную. Однако во многих практических случаях удобнее оставлять функцию ненормированной, просто сокращая числовые множители в числителе и знаменателе выражения, которые сами по себе могут оказаться крайне сложными для вычисления.

Средний квадрат функции в заданный момент времени, например при , так же как и среднее значение функции, можно выразить через интегралы по траекториям. В этом случае получается функционал

.                (12.7)

Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно (12.5) является вычисление среднего значения . Это среднее значение называется характеристической функцией и равно

.                     (12.8)

Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для  и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как ее наличие эквивалентно заданию самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование

.                     (12.9)

Некоторые важные параметры этого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение  равно

,               (12.10)

что легко показать, дифференцируя обе части равенства (12.8) по  и полагая затем . В самом деле, существует последовательность соотношений

.                (12.11)

Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем нужно выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, используя ядро . При переходе к пределу бесконечного разбиения временных интервалов ядро превращается просто в . Это и есть функционал, среднее значение которого мы хотим вычислить для построения характеристического функционала. Используя равенство (12.6), получаем

.                 (12.12)

Этот характеристический функционал также обладает важными специальными свойствами. Например, , а среднее значение функции , вычисляемое в некоторый момент времени , равно

,               (12.13)

где используется функциональная производная, определенная в § 2 гл. 7.

В принципе можно выполнить обратное интегральное преобразование Фурье по траекториям и записать вероятностный функционал в форме

,                (12.14)

где интеграл по траекториям берется в пространстве функций .

Для дальнейшего использования заметим, что если функция  всюду совпадает с некоторой заданной функцией , т. е.  равен нулю для всех , кроме , то характеристическая функция имеет вид

.                     (12.15)