§ 6. Броуновское движение

Как правило, метод интегралов по траекториям на практике не облегчает решение задачи, если она не может быть решена другим способом. Тем не менее каждый, кто до сих пор следил за нашими рассуждениями и знаком с интегралами по траекториям, признает этот способ выражения очень простым, если дело касается вероятностных задач.

Рассмотрим влияние броуновского движения на некоторую линейную систему, например гармонический осциллятор с затуханием, возбуждаемый случайно изменяющейся силой . Допустим, что масса осциллятора равна единице. В этом случае необходимо решить уравнение

,              (12.62)

где  - координата осциллятора. Если функция  определяется заданным распределением вероятности , то каким окажется вероятностное распределение  для различных возможных траекторий ? Уравнение (12.62) связывает координату  и силу , т. е. для каждого значения  существует . Следовательно, вероятность обнаружить заданную функцию  такова же, что и вероятность соответствующей функции , т. е.

,            (12.63)

где величина  связана с  уравнением (12.62). В общем случае нужно быть осторожным при переходе от  и , так как тут существует зависимость, аналогичная якобиану преобразования элементарных объемов. Однако если  и  связаны линейно (как это имеет место в нашем случае), то этот якобиан равен константе. Таким образом, как и в обычном методе интегралов по траекториям, если имеется уверенность в возможности нормировать результат, то

,             (12.64)

что дает формальное решение нашей задачи. Если  представляет собой гауссово распределение, то и  имеет такой же вид. В этом случае задача может быть решена многими способами, причем самый очевидный из них - разложение в ряд Фурье при условии, что  и  не зависят от времени.

Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину , частица отклонится на расстояние  от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом  к ней, как это показано на фиг. 12.1?

Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы перпендикулярно пластинке вещества толщиной .

Пройдя толщину  в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние . В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии  от точки , в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом  к первоначальному направлению.

Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол  всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых дает малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины  равно  и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол , определяемый распределением вероятности ; пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение

               (12.65)

(мы будем обозначать  через ).

Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через  глубину проникновения частицы в пластинку; пусть  - угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, a  - отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением  или .

Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол  происходят внезапно, так что , где функция  представляется суммой -функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что  и  обладает характеристическим функционалом

,                  (12.66)

где

.                     (12.67)

Заметим, что среднее значение углового отклонения  считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить , так что

,               (12.68)

и ограничиться только членами не выше второго порядка по , т. е. положить , то функционал (12.66) будет иметь вид

.                       (12.69)

А это в свою очередь означает, что

                       (12.70)

и, следовательно,

.              (12.71)

Мы должны вычислить распределение , определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом  и смещением , если при входе в пластину она имела   и . Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода  и . Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям:

,                      (12.72)

где все траектории, по которым берется интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в § 5 гл. 3. Он имеет экстремум для траектории

.                   (12.73)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид

.               (12.74)

Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим

.                       (12.75)

Отсюда следует искомое распределение

.               (12.76)

На практике в некоторых случаях для нас может представлять интерес не точное линейное смещение частицы от предполагаемой начальной точки, а угол , под которым частица вылетает из пластины. Обладая полной функцией распределения (12.76), легко вычислить функцию распределения углов, проинтегрировав по всем значениям . Результат равен . Этого можно было ожидать, поскольку мы уже предположили, что среднеквадратичный угол отклонения при прохождении единичной толщины равен , так что эта же величина для полной толщины   должна быть .

Предположим теперь, что мы наблюдаем только частицы, вылетающие под фиксированным углом , и рассмотрим для этих частиц функцию распределения по положениям точек вылета . Найдем, что распределение вероятностей имеет максимум при . Этого можно было бы ожидать, если бы конечный угол отклонения  нарастал пропорционально толщине пластины; тогда среднее значение угла во время пролета через пластину было бы равным .

Задача 12.2. Покажите, что нормировочный коэффициент для функции распределения  равен

.                  (12.77)