Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 3. Разложение волновой функции
В
§ 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые
соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42)
показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в
промежутке между двумя моментами времени 
и 
, можно получить волновую функцию для
момента ,
если известна волновая функция для более раннего момента времени .
Здесь
это уравнение нам будет удобно записать в виде
, (6.22)
где
- значение
волновой функции в момент времени 
[т. е. - функция точки 
], 
- волновая функция для более позднего
момента времени 
.
Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени
система движется в потенциальном поле 
, где ее движение описывается ядром 
.
Если
разложенное в ряд ядро 
[см. формулу (6.18)] подставить в
соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции . Таким образом,
. (6.23)
Первый
член этого разложения дает волновую функцию для момента времени в предположении, что
между и система остается
свободной (или невозмущенной, в последнем случае ядро 
нужно заменить ядром 
). Обозначим этот член
через 
. (6.24)
Используя
это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как
(6.25)
Записанный
в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции 
. Если ограничиться
только первыми двумя членами (т. е. учесть лишь первый порядок разложения по ), то получим первое
борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале . Это рассеяние
происходит в точке 
.
До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией 
, после рассеяния
система снова движется как свободная от точки до точки 
и описывается ядром 
. Интеграл должен быть взят по
всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три
члена ряда (т. е. учитывается второй порядок по ), результат называется вторым борновским
приближением и т. д.
Задача
6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19),
покажите, что волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению
. (6.26)
Это
интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шредингера
. (6.27)
Ограничившись
одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шредингера из
интегрального уравнения (6.27).
