§ 2. Принцип неопределенности

Мы сформулируем принцип неопределенности следующим образом: если в процессе выбора из альтернативных ситуаций удается проследить более чем за одной из них, то интерференция между этими альтернативами становится невозможной. Первоначальная формулировка принципа, данная самим Гейзенбергом, отличалась от нашей, и мы несколько задержимся, чтобы обсудить исходную гейзенберговскую формулировку.

В классической физике частицу можно считать движущейся по определенной траектории и приписывать ей в каждый момент времени определенные положение и скорость. Такое описание не привело бы к тем необычайным результатам, которые, как мы видели, характерны для квантовой механики. Принцип Гейзенберга ограничивает применимость подобного классического описания. Например, имеет свои пределы представление о том, что частица занимает определенное положение и обладает определенным импульсом. Реальная система (т. е. система, подчиняющаяся квантовой механике) представляет собой, если смотреть на нее с классической точки зрения, систему, в которой положение и импульс не определены. Тщательным измерением можно уменьшить неопределенность положения, а в других опытах можно было бы точнее определить импульс. Однако, как утверждает принцип Гейзенберга, нельзя точно измерить обе эти величины одновременно; в любом эксперименте произведение неопределенностей импульса и координаты не может быть меньше некоторой величины порядка . Аналогичное условие требуется и для физической согласованности ситуации, которую мы обсуждали выше. Это можно показать, рассмотрев еще одну попытку определения, через какое именно отверстие проходит электрон.

Пример. Если электрон, проходя через одно из отверстий, отклоняется, то вертикальная составляющая его импульса изменяется. Кроме того, электрон, попадающий в детектор  после прохождения отверстия 1, отклоняется на иной угол (а потому и импульс его претерпевает иное изменение), нежели электрон, попадающий в точку  через отверстие 2. Предположим, что экран  не закреплен жестко, а может свободно передвигаться вверх и вниз (фиг. 1.5). Любое изменение вертикальной составляющей импульса электрона в момент его прохождения через отверстие будет сопровождаться равным и противоположным по знаку изменением импульса экрана, которое можно найти, измеряя скорость экрана до и после прохождения электрона. Обозначим через  разность между изменениями импульсов электронов, проходящих через отверстия 1 и 2. Тогда для однозначного выяснения того, через какое отверстие прошел электрон, требуется определить импульс экрана с точностью, превышающей .

Фиг. 1.5. Еще одна модификация эксперимента, изображенного на фиг. 1.1.

Экран  может свободно передвигаться в вертикальном направлении. Если электрон проходит отверстие 2 и попадает в детектор (например, в точке ), то он отклонится вверх, а экран  получит отдачу вниз. Определяя, куда откатывается покоившийся вначале экран, можно установить отверстие, через которое проходит электрон. Однако, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, такие прецизионные измерения импульса экрана  были бы несовместимы с точным знанием его вертикального положения, поэтому мы не могли бы быть уверены, что линия, соединяющая центры двух отверстий, установлена правильно. Вместо кривой  на фиг. 1.2 мы получим распределение, несколько размазанное в вертикальном направлении, похожее на кривую  фиг. 1.2.

Если в эксперименте импульс экрана  можно измерить с требуемой точностью, то мы тем самым определяем, через какое отверстие прошел электрон, и распределение вероятностей приобретает вид кривой  на фиг. 1.2. Интерференционная картина (а), очевидно, исчезает. Как это может произойти? Чтобы понять это, заметим, что при построении кривой, описывающей распределение электронов в плоскости экрана , необходимо точно знать вертикальное положение двух отверстий на экране . Поэтому мы должны измерить не только импульс экрана , но и его координату. Для возникновения интерференционной картины (кривая  на фиг. 1.2) положение экрана должно быть известно с точностью, превышающей , где  - расстояние между соседними максимумами кривой. Теперь предположим, что мы не знаем вертикальное положение экрана с такой точностью; тогда положение кривой  на фиг. 1.2 нельзя определить с точностью, большей чем , поскольку за начало отсчета вертикальной шкалы необходимо принять некоторую фиксированную точку на экране . При этом значение вероятности  для любого  должно отыскиваться усреднением по всем ее значениям внутри окрестности размером  вокруг точки ; в процессе такого усреднения интерференционная картина, очевидно, размажется и результирующая кривая не будет отличаться от кривой  на фиг. 1.2.

Интерференция в эксперименте - признак волнового поведения электронов. Поскольку картина та же, что и в случае любого волнового движения, мы можем воспользоваться хорошо известным в теории дифракции света соотношением, которое связывает расстояние  между отверстиями, расстояние  от экрана  до плоскости , длину волны света  и расстояние между максимумами :

             (1.4)

(фиг. 1.6). В гл. 3 мы покажем, что длина волны электрона неразрывно связана с его импульсом соотношением

.                       (1.5)

Если  - полный импульс электрона (а мы предполагаем, что все пролетающие электроны имеют одинаковый полный импульс), то из фиг. 1.7 видно, что в случае

.                     (1.6)

Отсюда следует, что

.                     (1.7)

Поскольку из опыта мы знаем, что интерференционная картина исчезла, то неопределенность  в измерении положения экрана  должна быть больше . Следовательно,

,                 (1.8)

что согласуется (по порядку величины) с обычной формулировкой принципа неопределенности.

Фиг. 1.6. Аналогичный эксперимент со светом.

Два луча света, находящиеся в одинаковых фазах в точках 1 и 2, будут усиливать друг друга при попадании на экран , если они проходят расстояние между экранами  и  за одинаковое время. Это означает, что максимум в дифракционной картине, возникающий при прохождении лучей света через два отверстия, будет находиться в центре экрана. Следующий максимум будет расположен ниже центра экрана настолько, чтобы достигающий этой точки луч из отверстия 1 проходил путь точно на одну длину волны больший, чем луч из отверстия 2.

Фиг. 1.7. Отклонение электрона при прохождении через отверстие в экране .

Оно фактически сводится к изменению импульса . В направлении, приблизительно перпендикулярном исходному вектору импульса; к нему добавляется небольшая составляющая. Изменение энергии совершенно ничтожно, и при малых углах отклонения абсолютное значение полного импульса практически не меняется. Поэтому угол отклонения с высокой точностью можно положить равным . Если в одну и ту же точку на экране  попадают два электрона, один из которых вылетал из отверстия 1 с импульсом , а другой - из отверстия 2 с импульсом , то углы, на которые они отклонились, должны отличаться приблизительно на величину . Поскольку мы не можем сказать, через какое отверстие прилетел электрон, неопределенность вертикальной составляющей импульса, которую он приобретает при прохождении через экран , должна быть эквивалентна неопределенности в угле отклонения. Это дает соотношение .

Подобный же анализ можно применить и к тому измерительному устройству, где использовалось рассеяние света для определения того, через какое отверстие проходит электрон; для погрешностей измерений мы получим ту же самую оценку.

Рассматривая подобные эксперименты, мы отнюдь не доказываем принцип неопределенности, а лишь иллюстрируем его. Обоснование же его двоякого рода: во-первых, никто еще не нашел какого-либо экспериментального способа устранить накладываемые им ограничения на точность измерений; во-вторых, он представляется необходимым для того, чтобы законы квантовой механики были совместны; предсказания этих законов вновь и вновь подтверждаются с большой точностью.