§ 2. Применение вариационного метода

В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы. Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде

.                (11.15)

Тогда при больших значениях  функция распределения равна

.                     (11.16)

Этот интеграл взят по тем траекториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.

В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда  велико по сравнению с ) величина  столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки , не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной  и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной

,               (11.17)

как показано в выражении (10.48).

В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путем разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала , полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.

Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию , где  - среднее положение траектории, определяемое выражением

.                     (11.18)

Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид

.                 (11.19)

С помощью этого более общего выражения можно вычислить как , так и .

Следуя тем же путем, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим

                    (11.20)

Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам .

Отметим, что числитель выражения для  очень похож на выражение для , введенное в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением  и отложить интегрирование по всем возможным значениям  на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины , мы видим, что числитель в  не зависит от . Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что

.                 (11.21)

Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то

                     (11.22)

Интеграл по  в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и дает . Кроме того, интеграл в числителе, содержащий , дает в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию

.             (11.23)

Вид функции  отражает учтенный нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала  с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции , определенной соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова . Для атома гелия при температуре 2°K эта ширина порядка , однако при комнатных температурах она составит не более 2% от  (диаметр атома гелия). Величину  теперь можно записать в виде

.            (11.24)

Следующий шаг состоит в вычислении , исходя из того, что в соответствии с выражением (11.13) мы должны получить наименьшее значение величины . Значение  определено выражением

                    (11.25)

Интеграл по траекториям здесь несложен и равен , так что получим

.            (11.26)

Следующий шаг - оптимальный выбор функции  - требует, чтобы мы определили влияние малых изменений функции  на значение величины  и приравняли его нулю. Поэтому, представив  в виде

,               (11.27)

найдем из выражения (11.26) вариацию :

,               (11.28)

а из выражения (11.24) определим вариацию :

                    (11.29)

Для нахождения экстремального значения правой части выражения (11.13) необходимо, чтобы

,             (11.30)

что имеет место, если выбрать

.                       (11.31)

Это в свою очередь означает, что  и что функция  имеет такой же вид, как и классическая свободная энергия, определенная выражением (11.17). Однако потенциал в выражении для  был заменен на , поэтому

,             (11.32)

где  - эффективный классический потенциал, заданный выражением (11.24). При больших значениях  свободная энергия системы по существу совпадает с нижним уровнем энергии , поэтому выражение (11.32) мы можем интерпретировать как аппроксимацию . Это означает, что вариационный подход приводит к тому же результату, что и подход, изложенный в гл. 10 [см. выражения (10.67) и (10.68)].