§ 2. Интегральное уравнение для ядра

Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде

                  (6.17)

Это выражение можно представить и в другом виде:

                      (6.18)

Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро  можно записать как

,                   (6.19)

что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро , в случае, когда известно ядро  (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро  нужно заменить на ). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.

Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки  в точку  посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них - амплитуда вероятности того, что движение частицы происходит без рассеяния (ядро ). Вторая - амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка  здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки  до точки  в потенциальном поле, и это ее движение точно описывается ядром . Затем в точке  происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку . Эта часть движения описывается ядром . Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.

Фиг. 6.3. Общий случай.

В случае 1 частица, на которую действует потенциал , движется от точки  до точки  как свободная; это описывается амплитудой . В случае 2 частица рассеивается на потенциале  один или большее число раз, причем последнее рассеяние происходит в точке . Движение из точки  в точку  описывается ядром , а из точки  в точку  - ядром . Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки , охватывает все возможности и дает для  уравнение (6.19).

Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками  и , поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки .

Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:

.                   (6.20)

Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро  удовлетворяет дифференциальному уравнению

.               (6.21)