§ 4. Гауссовы шумы

Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.

Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т. е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:

.                    (12.40)

Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчета , как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию . Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро  должно иметь форму .

В конкретных физических задачах вид функции  можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближенной картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведенный выше вывод шумового спектра дает пример такого приближения. При этом . Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя  отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.

Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид

,                     (12.41)

где теперь функция  представляет собой ядро, обратное ядру , т. е. функции  и  связаны равенством

.                      (12.42)

Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.

Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т. е. изучим распределения с характеристическим функционалом

.                (12.43)

Функция  называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции  равна

.               (12.44)

В последнем выражении появилась функция , обратная по отношению к корреляционной функции . Это означает, что  или, если

                       (12.45)

является преобразованием Фурье от функции , то преобразование Фурье от функции  равно .

Мы начнем с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением

.               (12.46)

В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна

                  (12.47)

и обращается в нуль, если .

Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты  и . Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем

.    (12.48)

Вычислив это выражение для , получим просто . Отсюда ясно, почему  называется корреляционной функцией.