§ 4. Сумма по траекториям

Аналогия с интегралом Римана. Хотя качественно идея суммирования вкладов от всех траекторий вполне ясна, необходимо все же дать математически более строгое определение этой суммы. Множество траекторий содержит бесконечное количество элементов и не ясно, какая мера может быть сопоставлена пространству траекторий. Математическое определение такой меры и является целью этого параграфа. Как окажется далее, это определение довольно неудобно для конкретных вычислений. В последующих главах будут описаны другие, более эффективные способы вычисления суммы по траекториям. Что касается данной главы, то можно надеяться, что математические трудности, или скорее отсутствие изящества в изложении, не отвлекут читателя от физического содержания излагаемых понятий.

Начнем с рассмотрения обычного интеграла Римана. Допустим (очень грубо), что площадь  под кривой равна сумме всех ее ординат; лучше было бы сказать, что она пропорциональна этой сумме. Чтобы уточнить приведенное утверждение, поступим следующим образом: выберем какое-нибудь подмножество ординат (например, ординаты в точках , разделенных равными отрезками длины ). Складывая эти ординаты, получаем

,                        (2.17)

где суммирование проводится по конечному числу точек , как показано на фиг. 2.2.

Фиг. 2.2. Определение интеграла.

При построении обычного риманова интеграла набор ординат проводится от оси абсцисс до рассматриваемой кривой. Расстояние между ординатами равно . Интеграл (площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс) аппроксимируется произведением величины  на сумму ординат. Это приближенное выражение стремится к точному значению при .

Аналогичное определение может быть использовано для интегралов по траекториям. Мера, устремляемая к нулю в предельном процессе, равна интервалу времени , разделяющему дискретные точки на траекториях.

Следующий шаг состоит в определении площади  как предела этой суммы, когда подмножество точек  (а следовательно, и выбранное подмножество ординат) становится более плотным или, точнее, когда подмножество становится более полным представлением плотного множества, поскольку конечное множество никогда не является какой-либо измеримой частью бесконечного континуума. Мы можем перейти к пределу обычным способом, непрерывно уменьшая величину . Однако, поступая таким образом, мы получили бы различные суммы для разных значений , и в этом процессе никакого предела не существовало бы. Чтобы получить искомый предел, необходимо выбрать некоторый нормирующий множитель, который должен зависеть от . Для интеграла Римана, очевидно, таким множителем является сама величина . В этом случае предел существует, и мы можем написать выражение

.                        (2.18)

Построение суммы. При определении суммы по траекториям мы можем поступить аналогичным образом. Во-первых, выберем некоторое подмножество траекторий. Чтобы сделать это, разобьем область изменения независимой переменной (времени) на интервалы длиной . Это даст нам в интервале от  до  набор моментов  (разделенных -отрезками), каждому из которых поставили в соответствие точку . Соединяя все полученные точки отрезками прямых линий, мы получаем траекторию. Сумму по всем найденным таким образом траекториям можно определить, вычислив кратный интеграл по всем значениям  :

                  (2.19)

В результате получим выражение

.                  (2.20)

Интегрирование не производится по  и , так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий  и . Это выражение формально соответствует соотношению (2.17). Уменьшая , мы можем получить более полное представление множества всех возможных траекторий, соединяющих точки  и . Однако точно так же, как и в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от .

К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае. Однако нам это удается сделать для всех задач, которые до сих пор имели практическое значение. Возьмем, например, случай, когда лагранжиан задается выражением (2.2). Нормирующий множитель в этом случае равен , где

.                    (2.21)

Как получен этот результат, мы увидим далее (см. § 1 гл. 4). С учетом множителя  переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать

,               (2.22)

где

                     (2.23)

представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как это показано на фиг. 2.3, через все соединенные прямолинейными отрезками точки .

Фиг. 2.3. Сумма по всем траекториям.

Она определяется как предел, в котором траектория первоначально задается лишь координатами  для большого числа фиксированных моментов времени, разделенных очень малыми интервалами длины . Тогда сумма по траекториям равна интегралу по всем этим выбранным координатам. Наконец для определения меры берется предел при .

Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек  и  вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории. Тогда можно было бы сказать, что  - это наименьшее значение интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки . При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим физического смысла переходам по отрезкам прямых.

Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество из всех траекторий, проходящих через точки  и . Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках . В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках , и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико. Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была замена

.                   (2.24)

Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега.

Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму идею. Просто речь идет о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям [см. выражение (2.22)], в конечном счете могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не зависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как

              (2.25)

и называть ее интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака  вместо оператора дифференциала . Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).

Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы

Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.

Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки  в точку , зависит от числа поворотов  на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).

типа (2.15). Теперь перейдем к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперед и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости  все траектории движения такого осциллятора имеют наклон , как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной  и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т. е. в моменты времени , где  - целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение

,                    (2.26)

где  - число точек поворота на траектории.

В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро , суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т. д. точками поворота. Это даст

,                 (2.27)

где  - число возможных траекторий с  точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины , а именно:  - амплитуду перехода из точки , где скорость частицы была положительной (т. е. направленной вдоль оси ), в точку , в которой ее скорость также положительна;  - амплитуду перехода из точки , где частица имела отрицательную скорость, в точку , куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды  и .

Предположим теперь, что время измеряется в единицах . Покажите, что если интервал времени очень велик , а средняя скорость мала , то ядро [если не считать множителя ] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведенные здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.