§ 3. Стандартный вариационный принцип

В квантовой механике существует стандартный вариационный принцип, называемый методом Рэлея-Ритца. Он состоит в следующем: если  - гамильтониан системы, у которой наименьшее значение энергии равно , то для любой произвольной функции  имеет место соотношение

.             (11.33)

Это соотношение довольно легко доказывается и имеет весьма широкое применение. Если функция  разложена в ряд по собственным функциям гамильтониана , т. е. если , то очевидно, что

.                    (11.34)

Последнее выражение является усреднением по значениям энергии (с положительными весами  и больше (или равно) наименьшему значению энергии . Смысл соотношения (11.33) совпадает с содержанием выражения (11.13); фактически это соотношение является частным случаем выражения (11.13) (чтобы быть более точными, ограничим этот вывод теми случаями, в которых гамильтониан  не содержит зависимости от магнитного поля; тогда наше заключение является вполне точным). Для иллюстрации связи между этими двумя соотношениями рассмотрим следующий пример.

Предположим, что действие  соответствует лагранжиану вида

,                 (11.35)

где потенциал  не зависит от  (в противном случае, конечно, не существует никаких стационарных уровней энергии). Ограничимся одной переменной , но обобщение на любое количество их не составит труда. Здесь же отметим, что если лагранжиан содержит член  (например, если лагранжиан описывает частицу в магнитном поле); то соотношение (11.33) все еще остается в силе, хотя действие  будет комплексным. Мы ожидаем, что в этом случае выражение (11.13) или же некоторые его простые модификации все еще останутся справедливыми. Однако это не доказано, поэтому ограничимся случаем, когда никакого магнитного поля нет. Тогда в пределе при больших значениях  будем иметь

.                       (11.36)

Предположим теперь, что в качестве пробного мы используем действие

,                    (11.37)

которое содержит некоторый новый потенциал . Это означает, что

,              (11.38)

или

.                     (11.39)

Если бы нам было нужно определить среднее значение любой функции, которая зависит от траектории  таким же образом, как и в данном случае усреднения, то мы обнаружили бы, что это среднее значение слабо зависит от , пока  не очень близко к нулю или к . Поэтому с достаточной точностью можно написать

.              (11.40)

Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот интеграл по траекториям в предположении, что известны функции  и значения энергий , соответствующие . Пусть, например, наша траектория проходит между точками  и ; в этом случае

                 (11.41)

где

.                     (11.42)

Если же  стремится к бесконечности и  тоже велико (например, ), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии . Таким образом, в пределе

.                       (11.43)

Этот результат можно записать в виде

.                    (11.44)

Мы, конечно, должны вычесть эту величину из . Однако если  - гамильтониан, соответствующий действию , т. е. если

,                  (11.45)

то

,             (11.46)

так что

.                (11.47)

Но точный гамильтониан можно записать в виде

,                     (11.48)

а это означает, что

,                  (11.49)

где  - нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (11.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (11.49) зависит от произвольного потенциала  только лишь через волновую функцию . В силу неопределенности потенциала произвольной является и функция . Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал , находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (11.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и потом вычислить правую часть (11.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция , а не потенциал . Отсюда видно, что полученный результат - просто другой способ толкования соотношения (11.33).

Если бы все задачи были такими, как в данном примере, когда оказывается применимым выражение (11.13), то не возникало бы оснований для столь длинных рассуждений. Однако существуют значительно более сложные интегралы, для которых выражение (11.13), по крайней мере в той степени, насколько мы можем сейчас об этом судить, не столь просто преобразуется к соотношению (11.33). Такой пример мы рассмотрим в следующем параграфе.