§ 7. Квантовая механика

В этом и следующих параграфах нам хотелось бы посмотреть, как формулируются статистические задачи в квантовой механике. Вероятности неотделимы от квантовой механики, так как даже объект, находящийся в известном состоянии, одновременно с некоторой вероятностью находится в других состояниях. Кроме того, неопределенность может вноситься извне. Например, исходное состояние объекта само может быть задано с какой-то вероятностью. Такая ситуация аналогична ситуации в классической механике, в которой неизвестны начальные условия, а задано лишь распределение вероятностей для таких условий. В классической механике мы уже сталкивались с подобной проблемой, но это был сугубо частный случай, когда состояние с энергией  имеет соответствующую вероятность . Здесь мы рассмотрим более общую картину.

Пусть квантовомеханическая система находится под влиянием заданного внешнего потенциала . Что можно сказать, если потенциал описывается распределением вероятностей ? Нужно ли нам в действительности решать задачу для каждого потенциала  и затем усреднять, или же имеется способ сформулировать задачу уже после усреднения по ? Хотелось бы надеяться, что это именно так, потому что часто оказывается намного легче решить статистическую задачу после предварительного усреднения, чем искать общее решение первоначальной задачи с очень большим числом условий. В этом параграфе покажем, что такая формулировка действительно возможна. После этого рассмотрим случай, когда квантовомеханическая система возмущается не классической, а некоторой другой статистически неопределенной квантовой системой.

Основная цель этой главы - показать, как можно сформулировать эти и другие подобные вопросы. Мы не будем заниматься детальным решением упомянутых частных задач; они нужны нам лишь для того, чтобы помочь понять способы постановки более общих проблем.

Прежде всего обсудим аналогию броуновского движения для квантовомеханической системы, т. е. предположим, что квантовая система, которой соответствует невозмущенное действие , испытывает влияние внешнего потенциала  и при этом действие  становится равным

.                     (12.78)

Допустим, что нас интересует вопрос: какова вероятность того, что, отправившись в начальный момент времени  из точки , мы достигнем в конечный момент  положения ? Эта вероятность определяется квадратом амплитуды . Если начальное состояние системы задается волновой функцией , а конечное - волновой функцией , то вероятность перехода между этими состояниями

                    (12.79)

Очевидно, что все подобные задачи могут быть решены, если вычислить произведение

.                  (12.80)

Здесь первый множитель содержит интеграл по траекториям , тогда как второй, комплексно-сопряженный, включает . Каждый из интегралов взят по траекториям с заданными конечными точками. Во втором интеграле выражения (12.80) обозначим переменную интегрирования по траектории через . При этом произведение (12.80) можно выразить как двойной интеграл по траекториям:

.                   (12.81)

Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность.

Если потенциал  отличен от нуля, то мы должны  в выражении (12.81) заменить на . При этом получим

.    (12.82)

Предположим теперь, что потенциал известен только в вероятностном смысле, т. е. задана вероятность  того, что потенциал равен . Тогда для того, чтобы получить вероятность перехода между состояниями  и , нужно взять выражение (12.79), рассчитанное для данного , и усреднить его по всем  с весом . Это даст

,         (12.83)

где  - среднее от выражения (12.82) по всем  с весом ; таким образом,

                (12.84)

где интегралы берутся между заданными конечными точками , , , . Заметим, что выбор граничных точек и интегрирование по различным переменным с учетом распределения волновых функций, зависящего от вида задачи [как в выражении (12.83)], дает только сумму  для разных граничных условий. Здесь и дальше мы будем рассуждать таким образом, будто уже само  дает нам искомую вероятность, причем читателю не следует забывать, что эту работу еще нужно выполнить. А теперь можно сконцентрироваться на главном - вычислении двойных интегралов по траекториям, необходимых для расчета .

Интеграл по  в формуле (12.84) можно получить явно. Видно, что для нахождения вероятностей после усреднения надо вычислить двойной интеграл:

,                      (12.85)

где  - производящий функционал, принадлежащий распределению вероятностей , так что

.                   (12.86)

Выражение (12.85) соответствует нашему стремлению выразить ответ в форме, справедливой и после усреднения. В него входит вычисление двойного интеграла по траекториям. Как его вычислить практически, - другой вопрос. В этих параграфах мы рассматриваем лишь возможную постановку различных задач; методы, обсуждаемые здесь, могут оказаться полезными в приложениях.

В качестве примера применения выражения (12.85) предположим, что  - гауссов шум с нулевым средним значением и характеристической функцией , как в выражении (12.46). Нужно вычислить двойной интеграл:

                (12.87)

Так как во всяком случае либо новый множитель содержит , либо  входят в новый экспоненциальный множитель только квадратично, то могут быть полезны некоторые методы, обсуждавшиеся ранее для квадратичных форм. Конечно, если действие  само квадратично, как в случае гармонического осциллятора, то интегралы по траекториям можно вычислить точно, используя методы § 5 гл. 3.