§ 2. Дифракция при прохождении через щель

Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и ее связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени  частица выходит из начала координат, а спустя время  мы находим ее в некоторой точке . В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью . При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время  она пройдет дополнительное расстояние . Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.

В момент времени  частица выходит из начала координат . Пусть нам известно, что спустя время  она находится в окрестности  точки . Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу еще через время  на расстоянии  от точки ? Амплитуду перехода в точку  в момент времени  можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени  соответствующие траектории лежат в интервале .

Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах  от точки ? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени  в интервале . Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.

Предположим, что в момент времени  нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось  за исключением интервала . Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала , показывает, что нигде нет ни одной частицы, т. е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала . Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде

.               (3.19)

Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.

Известно, что частица, выходящая в момент времени  из точки , проходит между точками  и  в момент времени .

Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке  спустя время , т. е. когда . Согласно классическим законам, частица должна находиться между  и , т. е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.

Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьем задачу на две - соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки  при  в точку  при , где ; во второй - движение из точки  при  в точку  при . Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.

Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое - частица движется от начала координат до щели. Событие второе - дальнейшее движение частицы от щели до точки . Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую ее точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид

.           (3.20)

Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведет нас к более простым математическим выражениям.

Гауссова щель. Введем в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию . Если положить эту функцию равной единице в интервале  и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда

,                      (3.21)

где

Допустим теперь, что в качестве  взята функция Гаусса

.                   (3.22)

Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром . Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками  и .

Фиг. 3.4. Вид гауссовой функции .

Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным .

Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени  частицы распределены вдоль оси  с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции  (относительная вероятность пропорциональна ). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени  они будут распределены вдоль оси  так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии  от точки  и с большей шириной , определяемыми равенствами

,                       (3.23)

как показано на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.

Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени  будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени . Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролета частиц. Характеристическая ширина распределения (т. е. ширина на половине высоты пика. - Ред.) будет возрастать от значения  до , где . В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.

В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет

                   (3.24)

Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид , можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:

 для .                      (3.25)

Таким образом, амплитуда становится равной

                  (3.26)

Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть . Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:

.   (3.27)

Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси . Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем

.              (3.28)

Здесь применялась подстановка

.                (3.29)

Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке , определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения  больше той величины , которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть  и  - две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно  и . Тогда если , то среднеквадратичное отклонение величины  от ее среднего значения равно . Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяженности, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения  величина среднеквадратичного отклонения действительно равна .

Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведет себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной , среднеквадратичное отклонение которой составляет

.                  (3.30)

Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение , а не сама переменная . Поскольку в этом члене появляется константа , ясно, что по природе своей он - квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.

Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределенность в их последующем положении. Эта неопределенность  пропорциональна интервалу времени  между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением ее положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создает в значении ее скорости неопределенность, величина которой равна

.                   (3.31)

Связанный с шириной щели параметр  мы могли бы рассматривать как меру неопределенности координаты частицы в момент ее прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределенность через  и записать произведение  как импульс , то выражение (3.31) приобретает вид

.                (3.32)

Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределенности: хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последующее положение частицы приобретает такую дополнительную неопределенность, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины  получала случайный импульс . Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределенность в импульсе.

Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)? Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения  от  до , то в результате получим

.                       (3.33)

Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь щель. Существует и другой способ получения этого результата. Предположим, что мы знаем квадрат модуля ядра , составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесенная к единице длины вероятность попадания частицы в точку щели

.                  (3.34)

Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив ее на ширину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель. Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна . Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной .

Задача 3.3. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по , покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель

.                      (3.35)

В ходе решения этой задачи появится интеграл

,                    (3.36)

который является интегральным представлением дираковской -функции .

Таким образом, квантовомеханические результаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.

Импульс и энергия. Убедимся теперь еще раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как . Для этого вернемся к подробному изучению амплитуды, заданной выражением (3.26). На этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.

Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределенность скорости порядка . При любой заданной ширине щели, выбирая время  очень большим, можно сделать эту неопределенность пренебрежимо малой. Координату  можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость  не обращалась в нуль. Считая  и интервал времени  постоянными, в пределе при  получаем следующее выражение для амплитуды:

.                   (3.37)

Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределенность импульса  стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной  можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде

.                       (3.38)

Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен , то амплитуда вероятности достижения ею точки  в момент времени

.              (3.39)

Мы видим, что это волна с определенным волновым числом . Кроме того, она имеет определенную частоту . Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом  обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную , которая, так же как и в классической механике, равна .

Вероятность попадания в какую-либо точку , пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от . Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о ее положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который дает нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения ее положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели , означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о ее скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это еще одна иллюстрация принципа неопределенности.