Глава 1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Вероятность в квантовой механике

В первые десятилетия нашего века экспериментальная физика накопила внушительное количество странных результатов, не укладывавшихся в прежние (классические) представления. Попытки теоретически объяснить новые явления привели сначала к замешательству, поскольку оказалось, что свет и электроны иногда ведут себя как волны, а иногда - как частицы. Кажущаяся несовместимость этих свойств была полностью устранена в 1926-1927 гг. в теории, названной квантовой механикой. Новая теория утверждала, что существуют эксперименты, точный результат которых в принципе не может быть предсказан, и что в этих случаях следует удовлетвориться вычислением вероятностей различных возможных исходов. Но гораздо более важным оказалось открытие того, что сложение вероятностей в природе происходит не по законам классической теории Лапласа. Квантовомеханические законы физического мира становятся очень близкими к законам Лапласа лишь по мере того, как увеличивается размер объектов, участвующих в эксперименте. Поэтому обычная теория вероятности вполне подходит для анализа поведения колеса рулетки, но не для рассмотрения отдельного электрона или фотона.

Мысленный эксперимент. Само понятие вероятности в квантовой механике не изменяется. Когда мы говорим, что вероятность определенного исхода опыта есть , то вкладываем в это обычный смысл: при многократном повторении эксперимента ожидается, что относительное число опытов с интересующим нас исходом составит приблизительно . Мы не будем вникать в подробности этого определения; никаких изменений понятия вероятности, принятого в классической статистике, нам не потребуется.

Зато придется радикально изменить способ вычисления вероятностей. Последствия этого изменения оказываются наиболее значительными, когда мы имеем дело с объектами атомных размеров; поэтому будем иллюстрировать законы квантовой механики описанием результатов мысленных экспериментов с отдельным электроном.

Фиг. 1.1 поясняет наш воображаемый опыт. В точке  расположен источник электронов . Все электроны вылетают из этого источника с одной и той же энергией в направлении экрана . Этот экран имеет отверстия 1 и 2, через которые могут проходить электроны. Наконец, за экраном  в плоскости  расположен детектор электронов, который можно помещать на различных расстояниях  от центра экрана.

Фиг. 1.1. Схема эксперимента.

Испускаемые в точке  электроны летят в детектор, расположенный на экране . Между  и  помещен экран  с двумя отверстиями 1 и 2. Детектор регистрирует каждый попадающий в него электрон; измеряется относительное число электронов, которые попадают в детектор, когда тот расположен на расстоянии  от экрана , и строится кривая зависимости числа отсчетов от , представленная на фиг. 1.2.

Если детектор очень чувствителен (например, счетчик Гейгера), то мы обнаружим, что достигающий точки  ток не непрерывен, а является как бы дождем из отдельных частиц. При малой интенсивности источника  детектор зарегистрирует импульсы, свидетельствующие о попадании отдельных частиц, причем эти импульсы будут разделены промежутками времени, в течение которых в детектор ничего не попадает. Именно поэтому мы и считаем электроны частицами. Если бы мы расположили детекторы сразу по всему экрану, то в случае очень слабого источника  сначала сработал бы только один детектор, потом через небольшой промежуток времени появление электрона зарегистрировал бы другой детектор и т. д. При этом ни один детектор не может сработать «наполовину»: либо электрон попадает в него целиком, либо вообще ничего не происходит. Никогда не срабатывали бы и два детектора одновременно (за исключением случаев совпадения, когда за время, меньшее разрешающей способности детекторов, источник испускает два электрона - событие, вероятность которого можно уменьшить дальнейшим ослаблением интенсивности источника). Другими словами, детектор на фиг. 1.1 регистрирует некоторый одиночный корпускулярный объект, пролетающий от источника  до точки  через отверстие в экране .

Этот опыт никогда не был поставлен именно таким образом. Некоторые эксперименты, непосредственно иллюстрирующие наши дальнейшие выводы, действительно производились, но они, как правило, оказываются значительно более сложными. Из соображений наглядности мы предпочитаем отбирать эксперименты, наиболее простые в принципиальном отношении, и не обращаем внимания на реальные трудности их выполнения.

Между прочим, в подобном опыте вместо электронов можно использовать свет; это ничего бы не изменило. Источником  мог быть источник монохроматического света, а чувствительным детектором - фотоэлемент (или, еще лучше, фотоумножитель), который регистрировал бы импульсы, возникающие в нем при попадании одного фотона.

Величина, измеряемая нами при различных положениях детектора , - это число импульсов за 1 сек. Другими словами, мы будем экспериментально определять (как функцию ) вероятность  того, что вылетевший из источника  электрон попадет в точку .

График этой вероятности (как функции от ) представляет собой сложную кривую, которую в общих чертах передает фиг. 1.2,а. Эта кривая имеет несколько максимумов и минимумов, причем вблизи центра экрана существуют участки, куда электроны почти никогда не попадают. Объяснить, почему эта кривая имеет такой вид, и является задачей физики.

Фиг. 1.2. Результаты эксперимента.

Вероятность попадания электронов в точку  представлена как функция положения детектора . Кривая  - результат эксперимента, изображенного на фиг. 1.1. Случаю, когда открыто только отверстие 1 и электроны могут пролетать только через это отверстие, соответствует кривая ; открытому отверстий 2 соответствует кривая . Если предполагать, что каждый электрон проходит только сквозь одно отверстие из двух, то в случае, когда открыты оба отверстия, мы должны были бы получить кривую . Это существенно отличается от кривой , которую мы получаем в действительности.

Мы могли бы сначала предположить (поскольку электроны ведут себя как частицы), что:

а) каждый электрон, летящий из источника  в точку , должен проходить либо через отверстие 1, либо через отверстие 2; исходя из этого предположения, мы ожидали бы, что

б) вероятность  попадания в точку  является суммой двух слагаемых: вероятности  попасть в эту точку через отверстие 1 и вероятности  попасть в эту же точку через отверстие 2.

Так ли это, можно выяснить непосредственно на опыте. Каждая из слагаемых вероятностей легко определяется: просто закроем отверстие 2 и подсчитаем число попаданий в точку , когда открыто только лишь отверстие 1. Это даст нам вероятность  попадания в точку  электронов, пролетевших через отверстие 1. Результат изображается кривой  на фиг. 1.2. Аналогично, закрывая отверстие 1, найдем вероятность  попадания в точку  через отверстие 2 (кривая  на фиг. 1.2).

Сумма этих вероятностей (кривая ), очевидно, не совпадает с кривой . Следовательно, эксперимент ясно говорит нам о том, что , или что утверждение б) ошибочно.

Амплитуда вероятности. Вероятность попадания электрона в точку , если открыты оба отверстия, не равна сумме вероятностей попадания, когда открыты только первое или только второе отверстие. В действительности кривая  нам хорошо знакома, поскольку она точно совпадает с распределением интенсивности при интерференции волн, которые, распространяясь от источника , проходят через оба отверстия и падают на экран  (фиг. 1.3). Амплитуды волн удобнее всего изображать комплексными числами. Заметив это, мы можем сформулировать правило для определения  в строгой математической форме:  представляет собой квадрат модуля некоторой комплексной величины , которую мы назовем амплитудой вероятности попасть в точку  (если учитывается спин электрона, то это гиперкомплексная величина). Далее,  равна сумме двух вкладов: амплитуды  попадания в точку  через отверстие 1 и амплитуды  попадания в ту же точку через отверстие 2. Другими словами,

Фиг. 1.3. Аналогичный эксперимент с интерференцией волн.

Сложная кривая  на фиг. 1.2. совпадает с распределением интенсивности  волн, которые, выйдя из источника  и пройдя через оба отверстия, достигли бы точки . В некоторых точках  часть волн в результате интерференции взаимопогашается (например, гребень волны, вышедшей на отверстия 1, приходит в точку  в тот же самый момент, что и впадина волны из отверстия 2); в других же точках интерференция усиливает волны. В целом на кривой интенсивности  возникают сложные максимумы и минимумы.

в) существуют комплексные числа  и , такие, что

,                     (1.1)

                 (1.2)

и

, .             (1.3)

В последующих главах мы подробно рассмотрим конкретное вычисление  и . Сейчас же мы только укажем, что, например, амплитуду  можно найти как решение волнового уравнения, описывающего распространение волн от источника  до точки 1 и из точки 1 в точку . В этом находят свое отражение волновые свойства электронов (или фотонов в случае света).

Подведем итог: мы вычисляем интенсивность (т. е. квадрат модуля амплитуды) волн, которые достигли бы прибора, расположенного в точке , а затем интерпретируем эту интенсивность как вероятность того, что частица попадет в точку .

Логические затруднения. Характерно, что такое смешение понятий волны и частицы не ведет к противоречиям. Однако так будет лишь при условии, что все утверждения относительно экспериментальной ситуации делаются с большой осторожностью.

Чтобы обсудить этот вопрос более подробно, рассмотрим сначала ситуацию, которая возникает из-за того, что в общем случае равенство  несправедливо, как это подразумевает наше новое правило сложения вероятностей. Мы вынуждены признать: когда открыты оба отверстия, неправильно считать, что частица проходит только через одно или другое отверстие. В противном случае мы могли бы разбить все попадания частицы в точку  на два различных класса: попадания через отверстие 1 и попадания через отверстие 2; но тогда частота попаданий  в точку  неизбежно была бы суммой  (частоты попаданий через отверстие 1) и  (частоты попаданий через отверстие 2).

Чтобы избавить себя от логических затруднений, которые вносит этот пугающий вывод, можно было бы прибегнуть к разным ухищрениям. Мы могли бы предположить, например, что электрон движется каким-то весьма запутанным образом по некоей сложной траектории, проходя через отверстие 1, возвращаясь потом назад через отверстие 2 и выходя снова через отверстие 1. Или, может быть, электрон как-то размазывается и проходит через оба отверстия по частям так, чтобы в конечном итоге получился интерференционный результат в). Возможно также, что вероятность была найдена неточно вследствие того, что закрытие отверстия 2 могло бы повлиять на движение вблизи отверстия 1. Чтобы объяснить полученную картину, предлагалось много подобных классических механизмов. Однако если поставить такой же опыт с фотонами (а результат при этом будет тот же), то две интерферирующие траектории можно расположить на расстоянии многих сантиметров друг от друга, так что движения по ним почти наверняка должны быть независимы. Реальная ситуация намного сложнее, чем это можно было бы предположить вначале; это показывает следующий эксперимент.

Влияние наблюдения. Мы сделали вполне логичный вывод: поскольку , никак нельзя предполагать, что электрон проходит либо только через первое отверстие, либо только через второе. Однако легко придумать опыт для прямой проверки нашего вывода. Просто мы должны поместить за отверстиями источник света и проследить, через какое отверстие пройдет электрон (фиг. 1.4). Поскольку электроны рассеивают свет и если рассеяние происходит позади отверстия 1, то можно сделать вывод, что электрон прошел именно через это отверстие; если же свет рассеивается за отверстием 2, то электрон прошел через него.

Фиг. 1.4. Видоизменение эксперимента, изображенного на фиг. 1.1.

За экраном  мы помещаем осветитель  и наблюдаем рассеяние света на электронах, проходящих через отверстие 1 или через отверстие 2. При сильном источнике света действительно оказывается, что каждый электрон проходит только через одно из двух отверстий. Однако вероятность попадания в точку  при этом не описывается кривой  на фиг. 1.2, а имеет вид кривой .

Результат этого эксперимента должен недвусмысленно показать, что электрон действительно проходит либо через первое, либо через второе отверстие, т. е. на каждом электроне, который попадает на экран  (предполагается, что интенсивность света достаточна для того, чтобы мы не перестали видеть электрон), рассеяние света происходит либо позади отверстия 1, либо позади отверстия 2 и никогда не происходит (если источник  очень слабый) в обоих местах сразу (более тонкий эксперимент мог бы даже показать, что заряд проходит либо только через одно отверстие, либо только через другое и что во всех случаях это полный заряд электрона, а не часть его).

А теперь возникает парадокс. Действительно, предположим, что мы объединяем два эксперимента. Будем следить, через какое отверстие проходит электрон, и в то же время определять вероятность того, что он попадет в точку . Тогда о каждом электроне, попадавшем в точку , мы можем сказать, основываясь на эксперименте, пришел он через отверстие 1 или через отверстие 2. Сперва мы можем проверить, что вероятность  дается кривой . Если из всех попадающих в точку  электронов отобрать только те, которые приходят через отверстие 1, то мы убедимся, что их распределение действительно очень близко к кривой  (этот результат получается независимо от того, открыто или закрыто отверстие 2, и нам ясно, что это обстоятельство никак не влияет на движение вблизи отверстия 1). Если же отобрать электроны, проходившие, как мы видели, сквозь отверстие 2, то получим кривую , очень близкую к кривой  на фиг. 1.2. Но тогда каждый электрон появляется только в одном из двух отверстий, и мы можем разделить все электроны на два различных класса. Следовательно, если объединить теперь оба эти класса, то мы должны получить распределение  (кривая  на фиг. 1.2) и притом получить это экспериментально. Теперь интерференционные эффекты в эксперименте почему-то не проявляются.

Что же изменилось? Когда мы следим за электронами, чтобы установить, через какое отверстие они проходят, то получаем результат . Если же не следим за ними, получаем другой результат:

.

Как видно, следя за движением электронов, мы изменили вероятность того, что они попадут в точку . Как это могло произойти? Впрочем, для наблюдения за электронами мы использовали свет; видимо, он при столкновении с электронами изменяет их движение, или, точнее, изменяет вероятность их попадания в точку .

Нельзя ли ослабить интенсивность света в надежде уменьшить таким образом его воздействие? Незначительное возмущение, разумеется, не сможет вызвать конечное изменение распределения. Однако слабый свет вовсе не означает более слабого воздействия. Свет состоит из фотонов с энергией  и импульсом  (где  - частота и  - длина волны). Ослабить свет - значит просто уменьшить количество фотонов, так что мы могли бы вообще перестать видеть электрон, но если мы его все же видим, то это означает, что фотон рассеялся как целое и электрону передан конечный импульс порядка .

Электроны, которые мы не видим, распределяются в соответствии с правилом интерференции , тогда как замеченные нами и, следовательно, рассеявшие фотон попадают в точку  с вероятностью . Поэтому суммарное распределение представляет собой среднее взвешенное распределений  и . В случае большой интенсивности света, когда рассеяние происходит почти на всех электронах, оно близко к распределению ; в случае же очень малой интенсивности, когда лишь незначительное число электронов рассеивает свет, оно становится более похожим на распределение .

Могло бы показаться, что, поскольку свет передает импульс , можно было бы все же попытаться ослабить этот эффект, применяя свет с большей длиной волны. Однако всему есть предел. Если длина волны очень велика, мы не сможем определить, где рассеялся свет: за отверстием 1 или за отверстием 2, поскольку источник света с длиной волны  нельзя локализовать в пространстве с точностью, превышающей .

Таким образом, во избежание парадокса любое физическое вмешательство, имеющее целью определить, через какое отверстие проходит электрон, должно исказить опыт и превратить распределение  в .

Впервые это заметил Гейзенберг; он сформулировал свой принцип неопределенности, гласящий, что самосогласованность новой механики требует ограничения точности, с которой могут быть выполнены эксперименты. В нашем случае это означает, что любая попытка сконструировать прибор, определяющий то отверстие, через которое прошел электрон, и при этом настолько «деликатный», чтобы не вызвать нарушения интерференционной картины, обречена на неудачу. Внутренняя согласованность квантовой механики требует общности этого утверждения; оно обязано охватывать все физические средства, которые можно было бы применить для уточнения траектории электрона. Мир не может быть наполовину квантовомеханическим, наполовину классическим.

Никаких исключений из принципа неопределенности до сих пор не обнаружено.