§ 8. Краткие выводы

Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты.

Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегущих волн для наших целей являются лишь техническими приемами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91). Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия

,              (9.97)

где член  относится к веществу, член  - к взаимодействию вещества и поля, а член  - лишь к полю. Символом  обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами  и . Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа

,                      (9.98)

причем вопрос о граничных условиях задачи остается открытым.

Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т. е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращенно обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной , а лишь после этого по  и . То, что мы делали до сих пор, соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по  и , а в качестве заключительного шага по .

Обычно действие  линейно зависит от переменных поля  и  и может быть записано в виде

,              (9.99)

где  и  - соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от . Тогда интеграл по  и  в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется.

Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно дает нам значение этого интеграла, а именно

,                        (9.100)

где действие , которое в формуле (9.91) мы обозначали как , равно

                      (9.101)

для любых функций  и , зависящих от  и . В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).

Функции  и , которые входят в соотношение (9.98), зависят от  и ; поэтому мы получаем результат в виде

,                  (9.102)

где функционал  определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения  и . Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала . Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.

Общая формулировка квантовой электродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по , то множитель  можно опустить, так как он не зависит от . Вводя обозначение

,              (9.103)

мы можем (9.98) переписать в следующем виде:

.              (9.104)

Это выражение описывает амплитуду вероятности определенного движения частицы, причем поле также совершает определенный переход из одного состояния в другое. Как и все другие амплитуды вероятности, эта амплитуда представляет собой сумму по всем возможным альтернативам. Каждая отдельная альтернатива выражается произведением амплитуды , относящейся к движению частицы в некотором поле с определенными потенциалами  и , и амплитуды вероятности  того, что значения потенциалов поля именно таковы; суммирование производится по всем возможным полям  и .

Этот закон, выраженный математически соотношением (9.104), является фундаментальным принципом всей квантовой электродинамики. Его формулировка остается в силе даже тогда, когда функционал , т. е. амплитуду движения частицы во внешнем поле , нельзя представить в виде интеграла по траекториям. Так, например, для релятивистской частицы со спином, описываемой уравнением Дирака, этот функционал нельзя выразить в виде простого интеграла по траекториям с какой-либо разумной функцией действия. Однако выражение для функционала  можно получить и с помощью других методов, например из уравнения Дирака, а затем найти амплитуду  из соотношения (9.104).

Формулируя основной закон квантовой электродинамики (9.104), мы рассматривали поведение электромагнитного поля отдельно от поведения частицы (или системы частиц), с которой это поле взаимодействует. Сам факт, что такое разделение может быть проделано, является весьма важным результатом. Например, функционал  может быть связан с поведением атомного ядра, свойства которого известны неполностью. Однако для квантового решения электродинамических задач нам вполне достаточно знать лишь поведение этого ядра в известном внешнем поле.

Разумеется, для непосредственного применения формулы (9.104) необходимо знать функционал  при всех значениях переменных  и ; к сожалению, такая подробная информация редко имеется в нашем распоряжении. Но и тогда, когда мы располагаем точным выражением для функционала, само вычисление интеграла по траекториям может вызвать трудности. Все же практически эта формула очень полезна. В некоторых случаях функционал  может быть аппроксимирован экспонентой типа (9.99) с линейной зависимостью показателя от переменных  и . Тогда интересующий нас результат следует непосредственно из общих выражений (9.100) и (9.101). Чаще функционал  можно представить в виде суммы или интеграла экспонент, зависящих от различных величин  и ; тогда формула (9.104) приобретает вид соответствующей суммы или интеграла от выражений, содержащих экспоненту где  определяется соотношением (9.101) после подстановки надлежащих значений  и .

В большинстве практически важных случаев функционал  можно представить в виде степенного ряда по потенциалам  и . Если считать влияние поля на движение частицы достаточно малым, то несколько первых членов этого разложения могут быть вычислены методами теории возмущений. Найдя таким образом функционал, подставим его в (9.104) и проинтегрируем по  и ; в результате получится разложение амплитуды  по возмущениям (по степеням параметра ). Необходимые для этого интегралы вида

можно вычислить, разлагая по степеням  и  выражения (9.100) и (9.101), а затем сравнивая соответствующие члены. Мы не будем углубляться в эти вопросы квантовой электродинамики и отсылаем интересующегося читателя к работе [7].