§ 1. Импульсное представление

Амплитуда вероятности в импульсном пространстве. Выше мы пользовались понятием вероятности, имея в виду определение положения частицы; теперь допустим, что мы хотим измерить ее импульс. Спрашивается, существует ли такая амплитуда вероятности , квадрат модуля которой дает вероятность  того, что импульс частицы при измерении окажется равным ?

Такая амплитуда действительно есть, и мы легко можем ее найти. Некоторые способы измерения импульса (или других физических величин) соответствуют измерениям пространственных координат, и, следовательно, они могут быть изучены, если мы знаем, как анализировать измерения координат. Так, например, ограничиваясь одномерным случаем, предположим, что частица при  находится в области  около начала координат оси . Неопределенность  может быть сколь угодно большой, оставаясь, однако, конечной. Мы можем измерить импульс такой частицы, пользуясь измерением времени ее пролета, т. е. мы можем пронаблюдать, насколько переместилась частица за время  (предполагая отсутствие сил). Если новое положение частицы есть , то ее скорость равна , а импульс . Ошибку такого измерения импульса  можно сделать сколь угодно малой, если время  выбрать соответственно достаточно большим.

Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность , определяемую в таком эксперименте.  - вероятность того, что значение импульса находится между  и , равна вероятности  того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени  будет находиться между точками  и . Конечно, это обусловлено тем, что импульс  связан с координатой  равенством . Допустим, что волновая функция частицы в момент времени  имеет вид , и наша задача заключается в том, чтобы выразить вероятность  непосредственно через волновую функцию .

Амплитуда вероятности того, что частица придет в точку  в момент времени , равна

.             (5.1)

После подстановки ядра , описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид

.                        (5.2)

Квадрат модуля амплитуды  дает вероятность нахождения частицы между точками  и . В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе ) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между  и :

            (5.3)

при . Подстановка  с учетом предельного перехода к большим  приводит к выражению

.              (5.4)

Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области  - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция  спадает до нуля для значений , больших по абсолютной величине, чем . Далее, при возрастании  величина  становится пренебрежимо малой. Так как значения , большие по абсолютной величине, чем , не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность  будет приближенно равна произведению  на квадрат модуля амплитуды

.                    (5.5)

Несколько другая интерпретация этого результата дается на фиг. 5.1 и 5.2.

Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.

В точке  в интервале времени  она является произведением двух функций. Одна из них  - амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки , как это показано пунктирной линией. Вторая - ядро для свободной частицы  - является амплитудой перехода из точки  в точку ; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение  мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как  у нас - переменная величина. Если расстояние точки  от начала координат значительно больше расстояния между точками  и , где функция  не равна нулю, то длина волны остается практически постоянной.

Приближенно ее можно записать в виде . В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки  эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по . Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время  (опять-таки в предположении ), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен .

Фиг. 5.2. Случай периодической амплитуды.

Если приближенно амплитуду  считать периодической функцией с такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра , как показано на фиг. а, то интеграл от произведения этих двух функций становится очень большим. Это означает, что с большой вероятностью импульс равен .

Если, с другой стороны, предположить, что длины волн различаются на некоторую новую функцию , как показано на фиг. б, то после перемножения вклады в интеграл от различных значений  будут взаимно уничтожаться. Вероятность того, что импульс равен , в этом случае мала.

Если выбрать, как это показано на фиг. в, другое конечное положение , то в область  попадет совсем другая часть кривой . При подходящем выборе  длина волны, соответствующая этой части кривой , совпадает с длиной волны для функции  и величина вероятности в этом случае снова возрастает. Другими словами, частицы с большой вероятностью будут иметь новое значение импульса .

Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трехмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде

.                    (5.6)

Здесь уже предполагается, что волновая функция  определена во всех точках трехмерного координатного пространства. Амплитуда  представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс  в момент времени . (Заметим, что эта амплитуда не определена для момента времени .) Временной интервал  обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при этом величины амплитуды в импульсном пространстве. Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный на элемент объема пространства импульсов, дает вероятность нахождения импульса в трехмерном интервале импульсного пространства .

Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролета. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов. Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины - импульса. Если они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправностью одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролета является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса  тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии . Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс , одно и то же выражение  с точностью до несущественной фазовой постоянной (т. е. с точностью до множителя , где ). Возьмем, например, следующую задачу.

Задача 5.1. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат.

Переход к импульсному представлению. Мы называли  амплитудой вероятности того, что частица находится в точке  в момент времени . Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид

.                       (5.7)

Будем называть ее амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс  в момент времени .

Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием

.             (5.8)

Эту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке , представляется в виде суммы по всем возможным альтернативам. В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них - амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен , т. е. амплитуда . Другой - экспонента  представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен , то частица находится в точке . Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3.

Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.

Следовательно,  представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке , то ее импульс равен .

Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени , если известна волновая функция для более раннего момента времени , а именно

.              (5.9)

Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени  окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени :

.                       (5.10)

Подставив в соотношение (5.9) значение  из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции  к , мы выразим ядро в импульсном представлении через его значение в координатном представлении

.                  (5.11)

Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид

               (5.12)

Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю , где . Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).

Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.

В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса  в момент времени . Эта траектория должна начинаться со значения импульса . Все другие траектории не дают вклада в ядро.

Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.

Преобразование энергия-время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временное координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование времяэнергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид

.           (5.13)

Заметим, что энергия  здесь не равна , а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины  для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.

В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным  и  были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остается выполнить интегрирование лишь по  и . Сделаем подстановку . Тогда двойной интеграл можно записать как

.                     (5.14)

Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением -функции Дирака и равен . Второй интеграл имеет вид

.                     (5.15)

Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном  они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчет, заменим  комплексным числом . Когда обе величины  и  - действительные числа, интеграл равен .

Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при , стремящемся к нулю, и принять за результат . Однако такой подход привел бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем, - это ядро, и в дальнейшем ее следует проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям  или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить , то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении .

Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины .

Преобразовав выражение  к виду

,                    (5.16)

можно первый член в правой части представить как  и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при , стремящемся к нулю, становится равным , так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение  должно быть заменено на . Другими словами,

.            (5.17)

В последующем во всех выражениях, содержащих , будет подразумеваться предельный переход при .

Возвращаясь к вычислению ядра, заменим  на , после чего получим

.                (5.18)

Наличие -функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс  не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.

Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией  и импульсом  из одной точки в другую пропорциональна .

В этой главе мы уже отмечали, что энергия  здесь, вообще говоря, не равна , а является независимой переменной.

Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина  является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времен . Оно обращается в нуль при отрицательном  и начинает осциллировать при значении . Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при , то Фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в Фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна из частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии .

Фиг. 5.4. Действительная часть ядра  (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.

Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке  она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.

Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель

.                  (5.19)

Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при . Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное ; однако вблизи точки  энергия не определяется этой классической формулой.

Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае

.                      (5.20)

Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом

,                   (5.21)

где  - собственные функции, а  - собственные значения оператора .