§ 7. Гамильтониан

Используя полученные выше результаты, легко написать амплитуду перехода для гамильтониана, сложив амплитуду перехода для квадрата импульса, деленную на , и амплитуду перехода для потенциала. Таким образом, для момента времени  гамильтониан может быть записан как

.                (7.112)

В то же время операторная форма матричного элемента перехода для этого гамильтониана будет иметь вид

.                       (7.113)

Хотя такой метод определения амплитуды перехода для гамильтониана дает совершенно правильный результат, он тем не менее представляется несколько искусственным, поскольку здесь нигде не выражена зависимость гамильтониана от времени. Поэтому далее мы рассмотрим другое определение матричных элементов перехода, в основе которого лежит исследование изменения состояний при небольших вариациях времени. Такой подход даст нам возможность определять величину , исходя только из вида функции  (не касаясь того, насколько это будет сложно).

Чтобы сделать это, разобьем ось времени на бесконечно малые отрезки, подобно тому как мы поступали при определении интегралов по траекториям. Однако теперь важно отметить, что деление оси на равные отрезки не является обязательным. Здесь подходит любое разбиение точками , важно лишь, чтобы в пределе (независимо от величины элементов разбиения) все отрезки  стремились к нулю. Предположим для простоты, что наша система состоит из одной частицы, совершающей одномерное движение. В этом случае действие запишется в виде суммы

,                    (7.114)

где

.                    (7.115)

Интеграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками  и . Следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать

.                  (7.116)

Константа нормировки для интеграла по  в момент времени  будет такой же, как и ранее, а именно

.                    (7.117)

Выясним теперь связь гамильтониана  с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состояние , определенное в пространственно-временной области . Представим себе, что в тот же самый момент времени  мы рассматриваем другое состояние , определенное в области . Пусть область  пространственно совпадает с , но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал . Все устройства, необходимые для локализации системы в области , совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области , но начинают действовать на интервал времени  раньше. Если лагранжиан  явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т. е. состояние , соответствующее , будет таким же, как и состояние , с той лишь разницей, что при написании  мы пользуемся в качестве времени переменной .

Зададим теперь вопрос: чем состояние  отличается от состояния ? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области  зависит от того, какая из двух областей ( или ) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода , вызываемое сдвигом во времени. Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений , у которых , на величину ; если же , то все  сохраняются.

Читателю, который заглянет несколько вперед, может показаться, что мы намеренно создаем для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов  - имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удается обойти, если предположить, что временной сдвиг  сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента , а потом монотонно убывает. Тогда, полагая вариацию  равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и . Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при . Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере.

Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению эффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определенная соотношением (7.115) функция действия  сохраняется до тех пор, пока моменты  и  изменяются на одну и ту же величину. С другой стороны, функция  переходит в . Более того, константа нормировки в интеграле по  также изменится и будет иметь вид

.                       (7.118)

Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия , так и от константы нормировки  (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по  записать в виде

.                     (7.119)

Второй член в этом выражении соответствует изменению константы . Функционал, отвечающий гамильтониану квантовой механики, определим как

.                 (7.120)

Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана. Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханическом случае величина  оставалась конечной при стремлении интервала  к нулю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки , обусловленного сдвигом времени .

Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения [см. выражение (7.116)], можно записать

.                   (7.121)

Второе из этих соотношений получено с учетом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член .

Полагая теперь, что  для всех , получаем соотношение

,              (7.122)

связывающее между собой значения функции , определенные в областях  и . Таким образом, последовательность соотношений между операторами, уравнением Шредингера и интегралами по траекториям может быть получена как комбинация выражений (7.119), (7.120) и (7.122):

,                      (7.123)

что снова приводит нас к уравнению Шредингера

.             (7.124)

Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т. е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода  с точностью до величин первого порядка по , когда все моменты, предшествующие моменту , сдвинуты на величину , и записать эти изменения как .