§ 8. Системы с разделяющимися переменными

Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор  - совокупность координат одной частицы, а вектор  - совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трехмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:

,               (3.72)

где в  входят только траектории , а в  - только траектории . Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.

При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от , и другого, зависящего только от :

                     (3.73)

Ядро  здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой , и аналогичным образом определяется ядро . Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.

В случае нескольких частиц волновая функция  определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени  одна частица находится в точке , другая - в точке  и т. д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке , другая - в точке  и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:

,                    (3.74)

где  - произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство .

Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат  и , ядро  является произведением двух функций, одна из которых зависит от  и , а другая же - от  и . Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция  вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определенный момент времени  является произведением функции от  на функцию от , т. е. , то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро  описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция  уже не будет простым произведением.

Если даже в первоначальной системе координат действие  и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.