§ 2. Измерение квантовомеханических величин

Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен . Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.

Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы  (например, -компоненту импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности ; оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение  будет найдено равным .

В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет зависеть от других переменных, необходимых для ее полного определения. Посмотрим, что повлечет за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений. Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством . Например,  может означать утверждение: значение величины  равно . У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос.

Пусть некоторый прибор устроен таким образом, что если частица обладает свойством , то она пройдет через него и в определенном месте какого-то экрана или какой-то измерительной шкалы появится соответствующая отметка.

Вероятность такого события можно записать как

,                    (5.22)

если  - волновая функция измеряемой системы,  - ядро, описывающее прохождение частицы через данный экспериментальный прибор, а  - точка, в которую попадает частица, обладающая свойством . Эту вероятность можно представить также и в ином виде:

,               (5.23)

где мы положили

.              (5.24)

(Задание этой функции в комплексно-сопряженном виде принято, как мы увидим далее, только ради удобства.) Таким образом, мы можем сказать, что функция

                   (5.25)

представляет собой амплитуду вероятности того, что система обладает свойством . Это построение иллюстрируется фиг. 5.5.

Фиг. 5.5. Устройство, предназначенное для измерения свойства , помещено между точкой входа налетающей частицы [волновая функция которой ] и точкой выхода .

Устройство преобразует ядро, описывающее движение (ср. фиг. 5.1 и 5.2) таким образом, что оно становится равным . Произведение , проинтегрированное по переменной , представляет собой амплитуду вероятности достичь точки  после прохождения через устройство.

Само свойство  определяется функцией  благодаря следующим обстоятельствам. Предположим, что для измерения данного свойства мы проводим какой-либо другой эксперимент, пользуясь другими приборами, и, следовательно, в этом случае мы должны ввести новое ядро . Пусть в этом новом эксперименте частица попадает в точку . Тогда вероятность обнаружить, что система обладает свойством , равна

 или .                   (5.26)

Так как мы изучаем одно и то же свойство, то должны получить, во всяком случае для , тот же самый результат, что и в предыдущем эксперименте. Таким образом, для произвольной функции  должно выполняться равенство

.                  (5.27)

Это означает, что  с точностью до несущественного фазового множителя . Следовательно, всем методам, предназначенным для определения одного и того же свойства, соответствует (с точностью до фазы) одна и та же функция . Поэтому мы назовем функцию  характеристической функцией свойства .

Можно задать другой вопрос: каким должно быть состояние , чтобы быть уверенным, что система определенно обладает свойством ? (Например, какова волновая функция частицы, имеющей заданный импульс?) Другими словами, мы хотим найти такую функцию , скажем , при которой частица, проходящая через прибор, будет попадать именно в точку , а не в какую-либо другую точку . Амплитуда вероятности попасть в точку должна быть пропорциональна  (т. е. равна нулю во всех точках, за исключением ). Следовательно,

.                (5.28)

Это уравнение можно решить, используя соотношение между комплексно-сопряженным и обратным ядром, полученное в § 1 гл. 4. Из формулы (4.37) мы имеем

,                  (5.29)

так что

.               (5.30)

Это означает, что функция  - волновая функция частицы, которая заведомо обладает свойством . Итак, мы можем сказать, что частица обладает свойством , т. е. находится в состоянии . Таким образом мы установили: если частица находится в состоянии , то амплитуда вероятности найти ее в состоянии  есть

.                      (5.31)

Для большего числа степеней свободы  берется в пространстве нескольких измерений.

Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии , равна . Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии , а не в состоянии , но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она также находиться в состоянии , то вероятность получить утвердительный ответ равна:

.                  (5.32)

Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии  или нет, покажет, что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна . Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю . Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики.

Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряженной. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция  представляет собой амплитуду вероятности того, что если система занимает положение , то она обладает свойством  (это утверждение можно записать математически, если вместо функции  в формулу (5.31) подставить -функцию); с другой стороны,  - амплитуда вероятности того, что система, обладающая свойством , находится в точке . (Это как раз и является способом определения волновой функции.) Одна из этих функций дает амплитуду вероятности в таком случае: если имеется , то имеется и ; другая определяет ее для обратного случая: если имеется , то имеется . Переход осуществляется здесь простым комплексным сопряжением.

Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством , представляет собой сумму по всем значениям  произведений амплитуды , описывающей вероятность того, что система находится в положении , и амплитуды , определяющей вероятность того, что если система занимает положение , то она обладает свойством .

Задача 5.3. Пусть интеграл , который дает полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией , нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние , в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством , совпадает с .

Задача 5.4. Допустим, что  - волновая функция системы в момент времени . Пусть при движении в интервале времени  поведение системы описывается ядром .

Покажите, что вероятность найти систему в состоянии  в момент времени  дается квадратом интеграла

.

Мы будем называть этот интеграл амплитудой перехода из состояния  в состояние .

Измерение нескольких величин. В наших рассуждениях в гл. 4 мы предполагали идеальный эксперимент, когда одновременно с величиной  нельзя измерить никакую другую величину. Иначе говоря, мы допускали, что существует не более одной функции , приводящей к данному результату, и утверждали тем самым, что при измерении величины  мы получаем максимум информации о нашей системе.

Однако в действительности состояние системы в общем случае определяется несколькими переменными. Так, например, если в трехмерном пространстве измеряется только -компонента импульса, то мы не сможем однозначно определить функцию : волновые функции  и  дадут одинаковое значение -компоненты импульса . Таким образом, если в трехмерной системе координат измерять лишь значение компоненты , то частицы в направлении оси  могут двигаться с любым импульсом и это не скажется на результатах измерений. Не требуется даже, чтобы частица попадала в одну и ту же точку измерительного устройства. Все частицы, которые попадают на некоторую линию или совокупность точек, могут иметь одно и то же значение .

Так что в общем случае волновая функция  определит свойство  следующим образом: состояние, которое описывается волновой функцией , безусловно, обладает свойством . Однако обратное утверждение не всегда верно. Поэтому совсем не обязательно, чтобы все состояния, обладающие свойством , описывались одной и той же волновой функцией . Лишь в том случае, когда  включает перечень всех величин, которые могут быть одновременно измерены, волновая функция полностью определяется самим свойством . Но даже и тогда остается неопределенным постоянный фазовый множитель  (который не имеет, однако, существенного значения).

Легко получить необходимое обобщение характеристической функции  для случая, когда наш мысленный эксперимент предполагает измерение более чем одной переменной. Пусть мы имеем некий набор величин (назовем их ), которые могут быть одновременно измерены в предполагаемом эксперименте; например, это будут -компонента импульса, -компонента и т. д. Предположим, что мы можем полностью описать состояние системы, определяя некоторые числа , соответствующие этим величинам. Таким образом, мы полностью описываем систему, утверждая, что она обладает или не обладает определенным свойством. В данном случае утверждение, что система имеет определенное свойство, означает, что величина  равна , величина  равна  и т. д. Кроме того, предположим, что одновременно с этим мы не можем получить никакой другой информации, которую нельзя было бы вывести, зная численные значения величин .

Пусть наша экспериментальная установка способна измерять все эти величины, т. е. позволяет нам выяснить, обладает ли данное состояние таким свойством, при котором значение величины  равно , и т. д. Мы назовем характеристической функцией такого свойства функцию

.              (5.33)

Эта функция зависит, конечно, от чисел , для измерения которых ставится эксперимент, а также от координаты .

Предположим, что система находится в состоянии . Тогда вероятность того, что эксперимент дает для  значение, равное , для  - значение, равное , и т. д. (другими словами, вероятность того, что состояние обладает интересующим нас свойством), есть

.                      (5.34)

Преобразующие функции. Пусть система заведомо находится в состоянии , т. е. значение переменной  равно  и т.д. Тогда вероятность того, что в нашем эксперименте система будет обнаружена в состоянии, описываемом величинами , равна нулю, если не выполнены равенства , , , …. Это значит, что с учетом соответствующих нормирующих множителей

.                       (5.35)

Функция  представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы в положении , если она находится в состоянии, описываемом величинами . Функция , которую мы назвали характеристической функцией, является амплитудой вероятности обнаружить систему в состоянии, определяемом величинами , если известно, что она находится в положении .

Пусть мы знаем, что состояние системы описывается функцией ; тогда выражение

                    (5.36)

есть не что иное, как амплитуда вероятности найти систему в состоянии, при котором величина  имеет значение , величина  - значение  и т. д.

Величины  могут применяться для описания состояний системы с тем же успехом, что и функция . Действительно, если мы знаем , то с помощью обратного преобразования можем восстановить и функцию .

Функция  называется -представлением данного состояния. Примером такого рода может служить импульсное представление, которое мы рассматривали в предыдущем параграфе. Функция  является обычным координатным или -представлением состояния. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью функций  и . В частности,  - преобразующая функция перехода от координатного представления к -представлению, тогда как  - преобразующая функция обратного перехода. Таким образом, преобразование, обратное преобразованию (5.36), имеет вид

.            (5.37)

Это говорит о том, что амплитуда вероятности обнаружить систему в положении  равна сумме по всем возможным значениям величин  произведений двух функций:  - амплитуды вероятности обнаружить систему с , , … и  - амплитуды вероятности обнаружения системы в положении  при условии, что , , ….

Задача 5.5. Предположим, что функцию  можно записать в виде

.            (5.38)

Подставляя это соотношение в формулу (5.36) и используя свойство ортогональности функций  (5.35), покажите, что

.

Задача 5.6. Пусть , ,  - три декартовы компоненты импульса , , . Каков вид функции ? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.

Задача 5.7. Предположим, что -представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам известна функция , которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к -представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы между импульсным представлением и -представлением?