Глава 8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Задача о гармоническом осцилляторе - это, вероятно, простейшая задача в квантовой механике. Мы вполне можем решить ее, заметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. задачу 3.8), равно

.               (8.1)

Однако для полного рассмотрения этой задачи нам необходимо решить - точно или приближенно - все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцилляторы. В этой главе будет разобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах взаимодействующих гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому займемся рассмотрением лишь систем атомных размеров: например, проанализируем колебания молекулы . Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более низких энергетических состояний потенциал так близок к квадратичному, что рассмотрение, проведенное на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих задач.

В многоатомной молекуле, которая во много раз сложнее одноатомной, энергия возбуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с размерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень близка к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблизительно соответствовать набору связанных гармонических осцилляторов. Кристалл твердого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших размеров; с другой стороны, его можно рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов.

В качестве еще одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объеме. С классической точки зрения его можно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля с определенными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задает квантовый осциллятор.