§ 8. Системы линейных однородных уравнения

Мы видели в главе X, § 1, что совокупность всех решений однородного линейного уравнения с тремя неизвестными есть двумерное векторное пространство, а совокупность решений системы двух не эквивалентных между собою однородных линейных уравнений есть одномерное векторное пространство.

Мы сейчас обобщим эти результаты на случай любых систем, состоящих из от однородных уравнений с неизвестными.

Пусть дана система

Вектор арифметического -мерного пространства называется решением системы если, подставив в (1) значения , получим тождество .

Если вектор есть решение системы (1), то решением этой системы является и вектор при любом ; если - решения системы (1), то и вектор есть решение. Отсюда следует, что множество всех векторов арифметического пространства , являющихся решениями системы (1), есть векторное подпространство , называемое пространством решений системы (1). Найдем базис этого пространства и определим его размерность.

Мы уже знаем, что однородное уравнение

называется линейной комбинацией уравнений (1), если вектор есть линейная комбинация строк матрицы коэффициентов

(т. е. если левая часть уравнения (1) есть линейная комбинация левых частей уравнений (1)).

После этого линейная независимость системы однородных линейных уравнений и связанные с ней понятия определяются автоматически. В частности, рангом системы уравнений (1) называется ранг матрицы (2); он равен максимальному числу уравнений системы (1), образующих линейно независимую подсистему.

Две системы линейных уравнений (с неизвестными) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же пространство решений .

Пусть система уравнений (1) имеет ранг . Возьмем в ней какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему; без ограничения общности можно предположить, что такую подсистему образуют первые уравнений

системы (1); остальные уравнения системы (1) являются линейными комбинациями уравнений системы (3), поэтому всякое решение системы (3) есть и решение системы (1); очевидно и обратное утверждение: всякое решение системы (1) есть решение подсистемы (3). Итак, система однородных линейных уравнений (1) эквивалентна (всякой) своей максимальной линейно независимой подсистеме (3). Будем решать систему (3).

В матрице

r строк, и они образуют линейно независимую систему; значит, ранг матрицы (4) равен и в ней имеется столбцов, образующих линейно независимую систему. Без ограничения общности можем предположить, что эта линейно независимая система образована первыми столбцами. Тогда отличен от нуля детерминант

Перепишем систему (3) в виде

и дадим переменным какие-нибудь числовые значения:

так что правые части уравнений (3) суть известные числа. Так как детерминант системы (3) отличен от нуля, то система (3) однозначно решается по правилу Крамера: каждому набору чисел (5) однозначно соответствует решение

системы (3) (являющееся решением и системы ). Возьмем, в частности, следующие наборы (5):

Им будут соответствовать следующие решения системы (3):

Докажем, что векторы - решения (7) образуют базис пространства X всех решений (1). Прежде всего докажем, что векторы (7) линейно независимы. В самом деле, пусть

Расписывая это равенство соответственно по координате входящих в него векторов (7), получим:

т. е. что и требовалось доказать. Остается доказать, что каждое решение

есть линейная комбинация решений (7). Рассмотрим вектор

Очевидно, координаты этого вектора равны нулю, так что вектор имеет вид

Так как вектор есть линейная комбинация векторов-решений системы (3), то и есть решение этой системы. Значит, подставляя в эту координаты вектора , т. е. полагая , превратим систему в систему тождеств

означающую, что вектор есть решение системы однородных уравнений

Но детерминант этой системы не равеч нулю, поэтому нулевое решение есть единственное решение этой системы и вектор есть нулевой вектор. Значит (в силу определения (8) вектора , имеем

— произвольное решение v системы (1) есть линейная комбинация решений эти решения, будучи линейно независимыми, образуют базис пространства X. Наша цель достигнута — доказана следующая основная

Теорема 12. Пусть дана система (1) линейных однородных уравнений с неизвестными. Пусть — арифметическое -мерное пространство любое -мерное векторное пространство с фиксированным базисом . Если ранг системы (1) равен , то множество всех векторов

являющихся решениями системы (1) есть (-мерное подпространство пространства .

Из теоремы 12 сразу вытекает важнейшее

Следствие. Для того чтобы система однородных уравнений (1) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных.

В частности:

1° Всякая система однородных линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевое решение.

2° Система, состоящая из однородных уравнений с неизвестными, тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда детерминант системы равен нулю.

Рассмотрим еще отдельно случай системы из независимых однородных линейных уравнений с неизвестными; ранг такой системы равен , следовательно, многообразие решений одномерно: если

— одно какое-нибудь ненулевое решение данной системы, то все решения имеют вид . Без ограничения общности можно предположить, что детерминант минора, состоящего из первых столбцов матрицы нашей системы, отличен от нуля. Тогда, записывая данную систему в виде

и давая неизвестному произвольное значение , можем определить и значения неизвестных по правилу Крамера, а именно:

где есть умноженный на детерминант матрицы, полученной вычеркиванием из матрицы

данной системы столбца. Итак, решениями системы являются все векторы , где

Сформулируем теперь и докажем теорему, обратную к теореме 12. Теорема 13. Пусть дано векторное пространство размерности с фиксированным базисом . Всякое -мерное подпространство пространства , есть пространство Решений некоторой системы линейных однородных уравнений с неизвестными ранга , а именно линейно независимой системы из q уравнений.

Доказательству предпошлем несколько замечаний.

Раз базис пространства фиксирован, то каждый вектор записывается в виде

и для любых двух векторов определено число

Число это, если угодно, можно назвать скалярным произведением векторов и v относительно данного базиса . Очевидно

а также

т. e. скалярное произведение по отношению к данному базису обладает свойствами симметрии и линейности обычного скалярного произведения, определенного в главе IV для векторов трехмерного пространства.

Если , то мы скажем, что векторы v, и ортогональны по отношению к базису или что они аннулируют друг друга.

Если дано какое-нибудь множество векторов и векторы ортогональны (в только что определенном смысле) к каждому из векторов , то и всякая линейная комбинация будет ортогональна к каждому вектору .

Отсюда следует, что множество всех векторов и , ортогональных к каждому из векторов данного множества М, есть подпространство пространства мы будем его называть аннулятором множества М и обозначать через .

Нас будет интересовать случай, когда множество М само есть пространство .

Пусть в пространстве дан какой-нибудь базис, состоящий из векторов

Тогда аннулятор подпространства совпадает с аннулятором базиса .

В самом деле, всякий вектор и, аннулирующий все векторы , аннулирует и всякую их линейную комбинацию, т. е. все векторы . Обратное очевидно.

Но аннулятор совокупности векторов (11) есть не что иное, как пространство решений системы уравнений

имеющее размерность .

Итак:

3° Аннулятор -мерного подпространства есть подпространство размерности .

Докажем теперь, что аннулятор пространства

есть пространство М. Прежде всего, если — какой-нибудь вектор из , a v — любой вектор из , то каждый вектор v из аннулирует все векторы из и, значит, . Но размерность пространства есть, по доказанному, , поэтому , будучи -мерным подпространством той же размерности , совпадает с этим последним.

Итак, формула , или

доказана.

Возьмем теперь в пространстве какой-нибудь базис; векторы, являющиеся элементами этого базиса, обозначим через

Тогда аннулятор пространства т. е. пространство , есть пространство решений системы уравнений

Эта система линейно независима (так как независима система векторов ); ее ранг равен числу уравнений, т. е. . Теорема 13 доказана.

Второе доказательство теоремы 13. Пусть ( - базис пространства . Без ограничения общности можно предположить, что детерминант

Если

— произвольный вектор пространства , то матрица

имеет ранг ; поэтому координаты вектора удовлетворяют следующей системе уравнений:

Эти уравнений линейно независимы, так как в матрице, составленной из коэффициентов этих уравнений, минор порядка , состоящий из последних ее столбцов, имеет детерминант, отличный от нуля. Он имеет диагональный вид, причем на главной диагонали стоит одно и то же число .

Вместе с тем мы получаем способ построения одной из систем уравнений пространства U, если нам известны координаты вектора, составляющего его базис.