ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Методы качественного исследования дифференциальных уравнений, опирающиеся на теорию предельных циклов, получили широкое распространение. Вместе с тем достаточно популярного, изложения основных результатов этой теории, равно как и изложения большого круга идей, связанных с проблемами оценки числа циклов, пока, по-видимому, не существует. Предлагаемая впиманию читателя книга отчасти восполняет этот пробел. Здесь дается полный перевод работы Генри Дюлака (1870—1955) «О предельных циклах», опубликованной им в 1923 году (Bulletin de la Societe Mathemalique de France, t. 31), в которой последовательно и в доступной форме излагается доказательство теоремы о конечности числа предельных циклов у алгебраического дифференциального уравнения.
Еще Пуанкаре сформулировал свою знаменитую теорему: предельных циклов конечное число, если только ни один из них не проходит через седло. Многие видные математики делали безуспешные попытки показать, что ограничение в теореме Пуанкаре не нужно и что каждое нормальное уравнение с правой частью в виде отношения двух полиномов всегда имеет конечное число предельных циклов. С глубиной, настойчивостью и изобретательностью Г. Дюлак в результате долгих исследований блестяще доказал эту теорему. Этот результат о предельных циклах, принесший автору мировую известность, является наиболее значительным за последние пятьдесят лет.
В работе дается полная классификация особых точек, через которые могут проходить циклы, выводятся канонические формы дифференциальных уравнений
для седловых областей, примыкающих к особым точкам. Рассматривается совершенно новый класс функций полурегулярных вблизи сепаратрисного цикла, в этом классе доказывается существование нормированных первых интегралов, с их помощью строится функция последования. Самостоятельный интерес большого теоретического и прикладного значения имеют изложенные в работе методы исследования особых предельных циклов (полициклов).
Следует остановиться на форме изложения. К. Вейерштрасс в своем письме к С. Ковалевской писал: «От всякой научной работы я требую единства метода, последовательного проведения определенного плана и достаточной проработки деталей». Работа Г. Дюлака не только удовлетворяет всем этим требованиям, но является примером великого служения науке, убедительно показывающим как можно невероятно сложное сделать доступным, строгим и увлекательным.
В книге исправлены незначительные опечатки и приложен список трудов Г. Дюлака — полный, насколько это было возможно.
г. Горький, Н. Ф. Отроков
