§ 32. Окончательная форма функции соответствия

Чтобы найти функцию соответствия между точками пересечения характеристики С с кривыми рассмотрим промежуточную кривую имеющую в плоскости и уравнение Постоянная о которой шла речь в § 26, не превосходит радиуса сходимости ряда который входит в уравнение (69). Пусть Кривая пересекает характеристику в точке и характеристику С в точке Чтобы найти функцию соответствия между точками т. е. точками пересечения характеристики С с кривыми рассмотрим дифференциальное уравнение (66) и запишем его в виде

Заменяя на на получим уравнение

где ряд по целым степеням не имеющий свободного члена. Число можно считать настолько малым, чтобы дуга кривой при не пересекала бы дуги кривых отвечающих соответственно дугам в плоскости Это означает, что при кривая не пересекает кривых

2 и представленных в плоскости уравнениями которым в плоскости х, у соответствуют кривые Выражение остается положительным, когда точка лежит в области, ограниченной прямыми и кривой 2. Таким образом, если, оставаясь в этой области, перемещаться по характеристике уравнения (94), то координата и текущей точки будет убывать при возрастании от значения на кривой 2 до Вследствие этого каждая характеристика С уравнения (60), пересекающая в точке с параметром и, пересечет в точке с параметром Построив рисунок, можно - заключить, что если достаточно мало, то каждая характеристика С, пересекающая в точке пересечет в точке

Величины определяющие положение точек , одновременно обращаются в нуль, и каждая из них есть возрастающая функция другой. Покажем, что эти функции полурегулярные.

Характеристика дифференциального уравнения (94) пересекает дуги в точках с ординатами На дуге нет других особых точек. Функция в которую обращается при интеграл уравнения (94), удовлетворяющий начальному условию будет голоморфной функцией для Поэтому Если начальное значение есть координаты точки дуги 2, представляемой уравнением то

Эта формула показывает, что полурегулярная функция и равная нулю при

Функции соответствия (95) достаточно для рассмотрения циклов, проходящих через одну исключительную особую точку. Но, чтобы рассматривать все возможные случаи, докажем, что и есть также полурегулярная функция Это можно установить из вида функции Покажем, что отношение стремится к единице, когда и стремится к нулю, и что (95) можно разрешить относительно .

Рассмотрим интеграл уравнения (94), обращающийся при Значения, которые имеет этот интеграл при 2, близких к будут голоморфными

функциями в окрестности точки Интеграл имеет вид

Если точка пересечения характеристики, соответствующей этому интегралу, с кривой 2, представляемой уравнением то

Так как полурегулярная функция, то, каково бы ни было целое положительное число можно записать:

где полином степени стремится к нулю при стремящемся к нулю. Рассмотрим соотношение

равна нулю при следовательно, имеет множителем Такой же множитель есть и в правой части (97), поэтому (97) можно переписать в виде где ряд по целым степеням не имеющий свободного члена. Положим

Поскольку стремятся к нулю при стремящемся к нулю, то тем же свойством должна обладать и функция Если покажем, что стремится к нулю при стремящемся к нулю, то тем самым будет установлено, что есть полурегулярная функция Легко установить соотношения

Присоединяя к этим трем уравнениям (96), получим

Из этого выражения, согласно (98), находим

где стремится к нулю при стремящемся к нулю, так же как и функция которая имеет множителем поэтому и стремится к

нулю при , стремящемся к нулю. Следовательно, отношение стремится к нулю при стремящемся к нулю. Чтобы показать, что то же свойство имеет место и для отношения достаточно показать, что не стремится к бесконечности, когда и стремится к нулю.

Функцию в выражении (18) можно представить в виде

где с — постоянная, не равная нулю и функция, которая стремится к нулю при стремящемся к нулю. Поделив обе части (98) на и, получим

Когда и стремится к нулю, стремится к нулю, величина стремится к нулю при и к единице при Если отношение не ограничено, то стремится к нулю и равенство (99) невозможно.

Согласно (95) отношение не может неограниченно возрастать, когда и стремится к нулю, поэтому равенство (99) возможно, если и предел равен с. Следовательно, имеем соотношение

где функция полурегулярная и равная нулю при

Обозначим значение параметра, определяющего положение точки на кривой обращается в нуль, когда точка совпадает с Между существует зависимость в форме

где правая часть — ряд по целым степеням На основании (100) получим

где полурегулярная функция, равная нулю при постоянная.

В силу § 31 имеем

Заменяя и его выражением через получим соотношение между параметрами определяющими положение точек пересечения характеристики С, близкой к с двумя кривыми выделяющими на дугу, не содержащую никаких иных особых точек, кроме исключительной точки 0. Выразим это соотношение в более простой форме. Поскольку полурегулярная функция и, равная нулю при можно записать:

где постоянная, полином по степени, меньшей чем и такой, что функция полурегулярная и равиая нулю при Следовательно,

В этих формулах он и (5 — постоянные, полурегулярные функции, равные нулю при

Такова окончательная форма, которую можно дать функции соответствия в окрестности характеристики , пересекающей одну исключительную особую точку.

Замечание. Будем обходить характеристику , начиная с точки в направлении и на продолжении дуги возьмем точку такую, чтобы на дуге не было ни одной исключительной точки, но имелось бы некоторое число седел. Пусть дуга кривой, пересекающей в точке Характеристика С, идущая в направлении пересечет в точке положение которой на определяется параметром равным нулю, когда совпадает с То. Согласно сказанному в § 21 между параметрами и 9, определяющими положение точек существует зависимость

где положительные постоянные,

полурегулярная функция, равная нуйю при . Если в этом выражении для заменить его значением из (101), получим соотношение между параметрами и 0,. определяющими точки пересечения С с кривыми

где положено

полурегулярная функция, равная нулю при Действительно, члены степень которых не превосходит целого числа не могут быть получены из где заменено его выражением (101). Будем рассматривать только те слагаемые в выражении степень которых меньше 1. Эти члены, аналогично членам полурегулярной функции образуют полином будет представляться в виде

где функция полурегулярная и равная нулю при

Изменяя незначительно обозначения, рассмотрим две кривые пересекающие в Характеристика С, близкая к , пересечет в точках соответствующих параметрам и 0, равным нулю, когда совпадают с Между этими параметрами имеет место соотношение (102), если будут выполнены следующие условия:

1. На дуге кривой лежит только одна исключительная особая точка, которую будем обозначать

2. На дуге кривой нет других особых точек, отличных от

3. Дуге в плоскости и, и соответствует характеристика уравнения дуге

соответствует характеристика Характеристика не будет в общем случае голоморфной в

4. На дуге за исключением нет особых точек, отличных от седел. Число седел любое.