ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Постановка задачи

Действительную интегральную кривую, определяемую дифференциальным уравнением

будем Называть характеристикой. Предположим вначале, что полиномы по переменным Замкнутую характеристику назовем циклом. Работы Пуанкаре и Бендиксона позволяют сформулировать следующие результаты относительно поведения интегральных кривых этого уравнения.

А. Пусть произвольная кривая на плоскости координаты которой есть голоморфные функции параметра Обозначим через и две соседние точки на соответствующие значениям параметров Предположим, что через эти точки проходят две характеристики которые, следуя в одном и том же направлении, вновь пересекут в точках отвечающих значениям параметров и Если на дуге кривой нет особых точек дифференциального уравнения и если характеристика не касается в точке то имеет место зависимость

где голоморфная функция в окрестности точки Функция соответствия между положением точек голоморфная.

B. Если цикл, не проходящий через седло или сложную особую точку (кратную точку пересечения кривых в окрестности существуют две кольцеобразные области, примыкающие к Г: внешняя и внутренняя I такие, что в каждой из них возможен один из следующих двух случаев.

1) ни одна из характеристик, проходящих внутри области, не является циклом;

2) все характеристики, проходящие внутри области,— циклы.

Случай, который будет иметь место в области одновременно будет иметь место и в области Если выполняется случай 1), то кривую назовем предельным циклом.

C. Если не существует циклов, проходящих через седло или слооюную особую точку, то предельных циклов конечное число.

В случае, когда характеристика С оканчивается в узле или в сложной особой точке и соседние с ней характеристики также оканчиваются в этой точке, характеристику С нельзя продолжить через особую точку. Если же характеристики, близкие к С, не оканчиваются в особой точке, то характеристика С имеет одно или два продолжения, как это, например, имеет место в случае седла. Через Со обозначим совокупность С и одного из ее продолжений.

Исследование характеристик, проходящих в окрестности седла или сложной особой точки, позволяет следующим образом обобщить результаты, сформулированные в пунктах

А. Если дуга кривой проходит через одно седло, то функция соответствия между точками указанная в утверждении А, изменится и примет вид

где — положительное число, получаемое непосредственно из дифференциального уравнения, функция определена в окрестности и не обращается в нуль при

Если X — число иррациональное, то представляется в виде ряда, члены которого есть конечные суммы произведений целых положительных степеней

и функций переменного голоморфный в точке Функция в общем случае не может быть представлена в виде ряда по степеням и но она обладает следующим свойством, которое будет использоваться в доказательствах. Каково бы ни было положительное число о, функцию можно записать в виде

где полином по степеням стремится к нулю вместе с

Если рациональное, или на дуге лежит более одного седла, или, наконец, на ней расположены сложные особые точки, то функция имеет другую структуру, но свойство, аналогичное указанному, имеет место.

В. Пусть цикл, проходящий через одну или большее число особых точек. В неособой точке на проведем нормаль к этому циклу. На нормали, по разные стороны от точки можно найти две точки такие, что на каждом сегменте будет иметь место один из следующих двух случаев:

1) никакая характеристика, пересекающая сегмент, не является циклом;

2) все характеристики, пересекающие сегмент,— циклы. Может оказаться, что на одном сегменте имеет место один из указанных случаев, а на другом — второй.

С. Предельных циклов конечное число.

Доказательства этих теорем проводятся при единственном предположении, что все рассматриваемые характеристики расположены в области, где функции голоморфны.

Во введении, после напоминания результатов, которые считаются известными, будет доказано ряд лемм, используемых в дальнейшем.

В первой части устанавливается форма общего интеграла дифференциального уравнения, справедливая в действительной области в окрестности седла. Этот интеграл применяется при изучении функции соответствия, которая связывает точки пересечения двух дуг с характеристикой С, близкой к характеристике проходящей через одно седло.

Доказывается теорема для цикла проходящего через одно или несколько седел.

Во второй части рассматриваются исключительные особые точки, в окрестности которых дифференциальное уравнение (при надлежащем выборе осей координат) может быть записано в виде

где ряды по х и у, начинающиеся с многочленов второго порядка. Будет показано, что проблема построения функции соответствия в случае исключительных особых точек полностью сводится к задаче с простыми седлами.

В третьей части рассматриваются особые точки совершенно произвольного типа и с помощью предыдущих результатов изучается функция соответствия, роторая связывает точки пересечения двух дуг характеристикой , близкой к характеристике проходящей ерез одну исключительную особую точку. Доказывается теорема В для цикла, проходящего через любое число особых точек.

В четвертой части, прежде чем доказать, что предельных циклов конечное число, будет рассмотрен случай особой точки типа щентрь, в которой ни одна характеристика не может оканчиваться с определенной касательной. Доказывается, что в окрестности такой точки либо все характеристики — сдирали, либо все — циклы, окружающие особую точку. В более частном случае, когда полиномы, показывается, каким образом функция соответствия, может быть распространена на характеристики с бесконечными ветвями.

В последующих работах и при других условиях будут развиваться полученные результаты поведении характеристик, а также о числе и приближенном расположений предельных циклов.