ЧАСТЬ 2. ЦИКЛЫ, ПРОХОДЯЩИЕ В ОКРЕСТНОСТИ СЛОЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ

§ 24. Форма дифференциального уравнения в окрестности исключительной особой точки

Особую точку будем называть исключительной, если после переноса ее в начало координат и надлежащего выбора координатных осей дифференциальное уравнение можно привести к виду

где полиномы или ряды по целым степеням переменных х и у, начинающиеся с членов не ниже второй степени. Известно, что заменой переменных вида

где ряды, содержащие члены только выше первой степени по х и у, дифференциальное уравнение (60) приводится к виду

где а — постоянная, отличная от нуля, целое число, ряды по целым степеням соответственно и Покажем, что можно подобрать такую замену переменного, что будет начинаться с члена степени. Приравняем нулю коэффициент при в (61), разрешим это уравнение

относительно переменного получим Обозначим через члены со степенями ниже входящие в Проделав в уравнении (61) замену переменного получим

где начинается с члена не ниже степени по переменному Для дальнейших рассуждений будет полезно показать, что с помощью замены переменных возможны следующие упрощения дифференциального уравнения (61):

1) можно считать тождественно рдвным нулю;

2) можно заменить на Ъхпх, где постоянная, которая может быть и нулем;

1. Чтобы привести к случаю, когда запишем уравнение (61) в виде

Построим функцию такую, что

Это уравнение имеет бесконечно много голоморфных решений равных нулю при Среди этих решений выберем функцию вида

где ряд по целым степеням Делая замену переменного (63) в уравнении (62), приведем его к виду

функция голоморфная и равная нулю при Умножая обе части уравнения на получим

2. Чтобы показать возможность замены на рассмотрим уравнение

Покажем, что при надлежащем выборе постоянной это уравнение имеет голоморфное решение равное нулю при Положим

Тогда получим уравнение

которое можно записать следующим образом:

где выписаны только члены наинизшей степени как среди членов, содержащих так и среди членов, не зависящих от Будем искать решение этого уравнения в виде ряда

Коэффициенты определяются из уравнений

где полином, зависящий от коэффициентов для которых и коэффициентов ряда Легко найти если Эта группа коэффициентов не зависит от 6, для уравнение (65) примет вид Положим тогда будет произвольным. Принимая, например, можно определить коэффициенты и для Очевидно, что полученное таким образом разложение будет сходящимся рядом для достаточно малых Сделав в уравнении (61) подстановки (63) и (64), получим

В результате от уравнения (60) заменой переменных

и

можно прийти к уравнению (66). Ряд не имеет свободного члена, и, очевидно, эти подстановки приводятся к виду

где ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени, по