§ 25. Поведение характеристик в окрестности исключительной особой точки

Чтобы исследовать характеристики уравнения (60) в окрестности точки достаточно рассмотреть уравнение (61) вблизи точки опуская индексы, запишем это уравнение в виде

Известно (Бендиксон, с. 45), что если рассматривать характеристики, проходящие через точки, близкие к началу координат и расположенные в где то могут представиться два случая:

1. Если то у стремится к нулю при стремящемся к нулю на каждой из характеристик. Все кривые проходят через начало координат.

2. Если то существует единственная, отличная от характеристика, проходящая через начало координат. Пусть ее уравнение будет

В обоих случаях характеристики, отличные оканчиваются в начале координат, касаясь прямой Действительно, все характеристики, оканчивающиеся в имеют определенные касательные. Чтобы найти эти касательные, положим Тогда уравнение (67) приводится к виду

Если стремится к конечному пределу, когда у

стремится к нулю, то предел в силу (68) может быть только Но это невозможно, ибо в плоскости для уравнения (68) точка седло. Через эту точку цроходят две характеристики . В плоскости х, у им соответствует характеристика и не могут соответствовать рассматриваемые характеристики. Следовательно, должно неограниченно расти, когда стремятся к нулю.

Известно, что в случае функция соответствующая характеристике, оканчивающейся в начале координат, вообще не выражается рядом по целым степеням Эта функция полурегулярная при Каково бы ни было а, можно записать:

где полипом степени стремится к нулю при стремящемся к нулю. Если предположить, что имеет множитель (это можно сделать в силу рассуждений § 24), то многочлен при будет также иметь множитель

Исследуем теперь характеристики, близкие к чалу координат и расположенные в области Для этого достаточно заменить на

Очевидно, будут иметь место следующие четыре случая:

1. четное. Все характеристики оканчиваются в

2. нечетное. В области все характеристики оканчиваются в Только одна характеристика из области оканчивается в и вместе с двумя полуосями она ограничивает два отталкивающих сектора.

3. четное. Четыре дуги характеристик оканчиваются в Две из них образованы двумя полуосями Две другие касаются оси одна со стороны положительных другая со стороны отрицательных Эти характеристики ограничивают четыре отталкивающих сектора.

4. нечетное. Все характеристики, расположенные со стороны отрицательных оканчиваются в и только одна характеристика со стороны оканчивается в Вместе с двумя полуосями она ограничивает два сектора отталкивания.

Из проведенных рассуждений и из всего сказанного в §§ 3, 4 следует, что особые циклы, проходящие через исключительную особую точку, содержат часть оси и ее продолжение через точку Можно предположить, изменяя направление осей, что часть оси которая принадлежит циклу, расположена со стороны положительных у и что ее продолжение расположено со стороны положительных Следовательно, достаточно рассматривать только случаи 3 и 4, предполагая и изучать характеристики, расположенные в области над характеристикой, касающейся оси в