§ 51. Характеристики, близкие к циклу, проходящему через сложную особую точку

Подведем итог предыдущим рассуждениям; допустим, что дана область отталкивания, ограниченная двумя сепаратрисами оканчивающимися в сложной особой точке. Прямая пересекает соответственно в точках Рассмотрим характеристику С, пересекающую точках Полагая найдем функцию соответствия между . В самом общем случае с помощью серии замен переменных придем к рассмотрению точек пересечения

С с серией кривых проходящих через особую точку внутри области отталкивания. Получим соотношения, связывающие точки пересечения С с двумя последовательными кривыми Некоторые из этих соотношений будут голоморфными, другие, получаемые в окрестности элементарной особой точки при помощи вспомогательных уравнений, будут иметь форму, зависящую от природы этой особой точки: седла или исключительной особой точки.

Очевидно, что с точки зрения функции соответствия прохождение характеристики в окрестности сложной особой точки эквивалентно прохождению С в окрестности нескольких элементарных особых точек в определенной последовательности.

Если эти элементарные особые точки — седла, то соотношение между может быть разрешено либо относительно либо относительно Например,

где положительные постоянные, функция, полурегулярная и равная нулю при Можно утверждать, что если рассматривать только главный член правой части то прохождение С в окрестности сложной особой точки эквивалентно прохождению в окрестности одного седла.

Существенно упрощается и определение показателя в функции

Если среди элементарных особых точек, появляющихся в связи с применением изложенного метода, найдутся сложные особые точки, то этот метод также может быть применен. Например (§ 34), если проходятся две исключительные особые точки одна в смысле другая в смысле Следует также заметить, что полученные результаты не позволяют утверждать, что соотношение между можно разрешить или относительно или относительно Зависимость между получается из промежуточных соотношений между точками пересечения характеристики С с вспомогательными кривыми

На основании рассуждений предыдущий параграфов и § 35 ясно, что результаты, относящиеся к случаю особого цикла, проходящего только через элементарные особые точки, распространяются и на особые циклы, проходящие и через особые точки произвольного вида. В области, ограниченной циклом С о, в котором рассматриваются характеристики, близкие к , существует кольцевая область й, примыкающая к и такая, что в ней возможны только два случая:

1. Ни одна из характеристик, лежащих в не будет циклом,

2. Все характеристики в