§ 27. Приведенная форма дифференциального уравнения
Чтобы придать уравнению (77) возможно более простую форму, будем предполагать, согласно § 21, что в уравнении (61) функция 
оно
приводится к виду (70) или (77), где 
Пусть 
произвольное целое положительное число. Поскольку 
нолурегулярные функции при 
уравнение (77) можно записать в виде
где
ряды по целым степеням 
по степеням и, коэффициенты которого полурегулярные функции и, равные нулю при 
Покажем, что заменой переменного вида
уравнению (77) можно придать форму
где 
ряд по целым степеням 
коэффициенты которого полурегулярные функции переменного и при 
.
Сделав замену переменного (80) в уравнении (79), получим
Чтобы это уравнение имело форму (81), после замены переменного и в функциях 
его значением через 
достаточно потребовать выполнения тождества
Это будет иметь место, если выражение
не содержит членов, в которые и входит в степени, меньшей чем 
Будем искать 
в виде суммы
Чтобы найти коэффициенты 
напишем
условие того, что члены в выражении 
которые содержат и в степени, меньшей чем 
равны нулю. Обозначим 
производную 
имеем
Пусть 
приравнивая нулю члены с 
получим
Рассмотрим частное решение этого уравнения
Применяя полученную формулу для 
найдем, что 
будет рядом но целым степеням и, имеющим множитель 
Обычные в таких случаях рассуждения доказывают, что то же свойство имеет место для 
Если 
имеем
в частности, для 
Очевидно, что, как и выше, можно взять 
в виде ряда по целым степеням имеющего множителем 
То же самое будет иметь место и для 
Коэффициент 
подберем так, чтобы 
тогда ряд 
будет иметь множителем 
Таким образом, приходим к следующему заключению: существует замена переменного вида
где 
полином по и степени 5—1, обращающийся в нуль при 
коэффициенты которого — ряды по целым степеням 
сходящиеся при 
такая, что, проделав ее в уравнении (77), получим (81).
