§ 47. Изменения, вводимые при исследовании приводимого случая

В § 46 было введено ограничение, состоящее в том, что при исследовании интегралов уравнения (135), проходящих через точку не может

встретиться приводимый случай. Неявно такое же ограничение было введено и в 3° для интегралов (проходящих через особые точки) различных уравнений, получаемых из (135) заменами переменных. Освободимся теперь от этого ограничения.

Чтобы избавиться от затруднений, которые встречаются при изучении приводимого случая, подберем такое что подстановкой уравнение (135) преобразуется в уравнение в переменных , для которого приводимый случай уже не имеет места. Целесообразно подобрать так, чтобы приводимый случай не имел бы места ни для одного интеграла (135), которому соответствует характеристика такая, что на ней отношение стремится к нулю при х и у, стремящихся к нулю. Для уравнения в переменных случай приводимости не будет иметь места для всех характеристик, на которых отношение неограниченно растет, когда стремятся к нулю, оставаясь на этой характеристике. Замена переменного характеристике С уравнения (135) ставит в соответствие характеристику уравнения в переменных . Уравнение (135) после такой замены приводится к виду

где однородные полиномы наименьшей степени в коэффициентах при Если получим зависимость между значениями и, соответствующими точкам пересечения характеристики с прямой и кривой где постоянные, то тем самым будет получена зависимость между значениями соответствующих точкам пересечения характеристики С с прямыми Таким образом, можно освободиться от ограничений, сделанных в § 46, при установлении зависимости между значениями

Если положить то уравнение (138) преобразуется к виду

где Для интегралов уравнения (138), проходящих через точку и касающихся в ней оси случай приводимости не будет иметь

места. Известно (§ 45), что есть элементарная особая точка для уравнения (136). Перенесем на уравнение (139) рассуждения, проведенные для уравнения (136). Подберем такое, чтобы выражение не обращалось в нуль при за исключением быть может Рассмотрим в плоскости характеристику соответствующую характеристике С. Характеристика пересекает прямую в точке с параметром прямую в точке с параметром Зависимость между известна и определяется типом особой точки Следовательно, найдем и зависимость между абсциссами точек пересечения характеристики с прямыми

Положив теперь в получим

Если это уравнение имеет на оси особые точки с положительными ординатами, то обозначим через наибольшее положительное число, меньшее всех ординат этих точек. Пусть характеристике уравнения (140) соответствует характеристика уравнения (138). Применяя к уравнению (140) рассуждения, проведенные для уравнения (137) (§ 46, 3°), получим зависимость между значениями и, соответствующими точкам пересечения характеристики с прямыми которая в свою очередь позволит установить зависимость между значениями отвечающими точкам пересечения характеристики с прямыми Если у уравнения (140) нет особых точек с положительными ординатами, лежащих на оси то, положив найдем зависимость между значениями определяющими абсциссы точек пересечения характеристики с прямыми

Применим теперь к уравнению (140) рассуждения, проведенные для уравнения (138), и найдем зависимость между значениями, отвечающими точкам пересечения с прямыми где число играет такую же роль, как и в (138). Таким образом, может быть получена зависимость между последовательными точками пересечения характеристики с кривыми Продолжая этот процесс,

получим ряд соотношений между точками пересечения характеристики

Если в этих соотношениях заменить и на то получим зависимость между абсциссами точек пересечения характеристики С уравнения (135) с прямыми где

Рассмотрим различные формы соотношений, которые получим, применив метод § 46 для значений соответствующих точкам пересечения характеристики с двумя последовательными прямыми Все эти соотношения легко найти, заменяя и на на

Если есть зависимость

где положительные постоянные и полурегулярная функция, равная нулю при то после замены будем иметь

где а постоянная и полурегулярная функция, равная нулю при

Если же полученная зависимость имеет вид

где а — положительная постоянная, целое, многочлен степени не выше то получаем

где так же как и функция полурегулярная и равная нулю при нулевом значении аргумента.

Эти соотношения могут быть использованы для получения функции соответствия, так же как и те, из которых они получены. В частности, сохраняется свойство, доказанное в § 34 о характеристиках, проходящих последовательно в окрестности двух исключительных особых точек, одну из которых проходят в направлении другую в направлении