§ 19. Функция соответствия в окрестности характеристики, проходящей через одно седло

Пусть особая точка с координатами есть седло, в этой точке оканчиваются четыре дуги характеристики попарно касающиеся двух прямых; они делят окрестность точки на четыре сектора. Характеристики, расположенные в каждом из них, образуют четыре существенно различных семейства. Будем изучать отдельно каждый сектор.

Пусть один из них, и сепаратрисы, ограничивающие этот сектор. Очевидно, и не имеют общей касательной в точке Предположим, что при движении по в сторону точки область остается справа и будет правым продолжением Характеристика С, близкая к пройдет в окрестности если она проходит в окрестности и в том же направлении, что и

Совокупность кривых и образует характеристику , имеющую в угловую точку (см. § 3). Это будет единственная характеристика в области которую можно рассматривать как составленную из двух характеристик.

Из результатов § 12 следует, что дифференциальное уравнение в окрестности можно, с помощью замены переменных вида

представить в виде

Разрешив уравнение (43) относительно получим

постоянные.

Четыре полупрямых в плоскости определенные прямыми соответствуют четырем

гам характеристик в плоскости Каждому из четырех секторов, образованных в плоскости и, и прямыми соответствует сектор в плоскости ограниченный двумя сепаратрисами из Можно предполагать, что рассматриваемой области в плоскости соответствует в плоскости сектор Предположим наконец, что переменные таковы, что заменой (44) и (43) общий интеграл уравнения (39) приводится к виду

для всех лежащих между и 1 (см. § 12, замечание 1 и § 14). Известно, что

Рассмотрим в плоскости квадрат со сторонами, уравнения которых будут соответственно: Характеристика С уравнения (39), которая пересекает сторону в точке выйдет из квадрата, пересекая в точке поскольку она может ни остаться внутри квадрата, ни пересечь стороны и ни окончиться в особой точке Для всех точек квадрата в силу интеграла (45) имеем соотношение

Дуги и на плоскости в которые заменой переменных (44) переводятся сегменты и играют роль кривых (§ 2). Координаты точек определяют в силу формул (44) положение точек точек пересечения характеристики С в плоскости с дугами и Характеристике образованной двумя дугами соответствуют сегменты и плоскости играющие роль дуги характеристики Со (§ 2).

Таким образом, получаем функцию соответствия между точками пересечения характеристики С, близкой к с двумя дугами кривых и в случае, когда на дуге лежит одно седло

Эта функция соответствия вообще не голоморфная, но обладает свойствами, установленными в §§ 17 и 18, которые позволяют использовать

функции полурегулярные в точке таким же образом, как и ряды по целым степеням и.

Замечание. Рассмотрим две дуги пересекающие сепаратрисы в точках так, что на дугах кривых нет особых точек. Легко установить вид функции соответствия между точками пересечения дуг с характеристикой С, близкой к Со. Будем считать, что для дуг и их расположения относительно выполнены предположения 1), 2), 3) и замечание § 2. В частности, координаты точки на будут функциями параметра Эти функции голоморфны при значении параметра соответствующего точке Координата точки на есть функция параметра голоморфная при соответствующем

Предположим, что характеристика С, близкая к Со, следует в направлении и встречает:

1) в точке с параметром

2) дугу в точке с параметром и;

3) с параметром ;

4) с параметром у;

На дугах кривой Со нет особых точек, поэтому будем иметь

где постоянные, отличные от нуля; голоморфные функции такие, что используя уже имеющуюся зависимость

получим

где с постоянная, отличная от нуля; II и функции переменного которые (согласно § 10) будут полурегулярными и равными нулю при поскольку полурегулярная функция и, равная нулю при Установленная зависимость между имеет место, если достаточно мало. Как и в § 2, легко установить, что если достаточно близка к характеристика, пересекающая в точке будет пересекать в точке близкой к Этот результат может

быть также получен при помощи рассуждений, аналогичных тем, какие проведены Бендиксоном (стр. 19). Уравнение, связывающее и можно разрешить относительно тогда получим

где с Функция полурегулярная и равная нулю при Чтобы получить зависимость между в этой форме, достаточно провести рассуждения, подобные изложенным выше, но в обратном порядке.