§ 28. Общий интеграл дифференциального уравнения (77)

Найдем интеграл уравнения (77) в виде ряда

где функции переменного и. Очевидно, он должен удовлетворять уравнению

Коэффициенты найдем из системы

Подчинив их дополнительному условию получим

Покажем, что полученный таким образом ряд будет сходиться в области

Согласно § 9 и тому, что было сказано в конце § 26, найдем мажоранты для при Заменим в уравнении на а функции соответствующими членами разложения по степеням выражения все коэффициенты которого отрицательны. Чтобы найти мажоранты для построим общий интеграл

уравнения

в предположении, что причем

Проинтегрировав (84), получим общий интеграл

в разложении которого по степеням все коэффициенты при положительны. Вследствие этого ряд будет сходиться при . Дадим другое доказательство этого факта, которое выясняет свойства функции Мажоранты функции получим, заменяя, согласно § 9, функции их мажорантами, которые по доказанному представляют собой коэффициенты разложения по степеням и выражения Если в этом выражении заменить на которое всегда больше чем то еще больше увеличим мажоранты функций Такая замена приводит к уравнению

общий интеграл которого при начинающийся с члена имеет вид

Коэффициенты разложения левой части общего интеграла по степеням положительны при и представляют собой мажоранты для соответствующих членов Если представить в виде

то члепы ряда, заключенного в скобках, имеют мажорантами соответствующие коэффициенты разложения по степеням и. Этот ряд, следовательно, сходится при . В результате получаем следующую теорему. У равнение

где ряд целым степеням коэффициенты которого полу регулярные функции при удовлетворяющий условию имеет при общий интеграл вида

коэффициенты которого ограниченные функции при