§ 14. Форма общего интеграла дифференциального уравнения в окрестности седла

Рассмотрим уравнение (15) в виде

где ряды по целым степеням Случай, который обычно будет рассматриваться, соответствует значениям однако для дальнейшего будут полезны свойства общего интеграла при любых Предположим, что а(х, у) удовлетворяет условию (§ 7), и поэтому существуют постоянные числа такие, что при выполняются неравенства

Найдем общий интеграл уравнения (29) в виде

Функция должна удовлетворять уравнению

Для определения положим Тогда получим так как при должно быть Коэффициенты при удовлетворяют уравнениям

отсюда

так как

Из (31) видно, что можно последовательно найти функции и что все они ограничены при . Для каждой функции определим мажорирующую функцию такую, чтобы она была положительна или нуль при и удовлетворяла уравнению

Их нельзя получить непосредственно из выражения (31) для . С этой целью найдем функцию

удовлетворяющую уравнению

где

Будем различать два случая:

1) За функцию можно взять общий интеграл уравнения

Положим

где производная от а Все коэффициенты ряда положительны, и он сходится при поскольку знаменатель левой части (33) не обращается в нуль при этих значениях у. Следовательно, уравнение (32) имеет общий интеграл Легко видеть, что разложение в ряд по степеням у функции удовлетворяет всем требованиям мажоранты для функции можно считать, что это будет справедливо при Ряд для сходится при разложение функции по степепям у сходится при меняющемся от до 1. Поэтому

где . Так как , то ряд будет сходиться в той же области, что и ряд Таким образом, получаем следующую теорему.

Если удовлетворяет условию то дифференциальное уравнение

имеет при общий интеграл вида

где ограниченные функции при

2) любые. В этом случае

и так как имеет множитель то

можно положить

где

Функция К(х, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению

поэтому будут находиться из таких же уравнении вида (30), что и Найдем функции мажорантные для при меняющемся от нуля до 1, и потребуем, чтобы была положительна или нуль при тогда

удовлетворяет уравнению

Действительно, уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты получаются из уравнений для функций заменой на 1, поэтому, применив лемму § 9, получим функцию

Решение уравнения (35), не зависящее от должно удовлетворять уравнению

Это уравнение вида (10) § 8. Предположим, что выбраны так, чтобы Оно имеет решение

сходящееся при причем все коэффициенты положительны. будут мажорантами для функции для при Поэтому ряды для абсолютно сходятся при и Функции тояедественно равны нулю, поскольку они имеют мажорантами равные нулю функции

Очевидно, ряды для имеют вид

Таким образом, доказана следующая теорема. Дифференциальное уравнение

где а(х, у) удовлетворяет условию имеет общий интеграл вида

Ряд, стоящий в левой части, сходится при ограниченные функции при