§ 39. Последовательные преобразования уравнений

Если уравнение (117) имеет дикритическую точку, то к нему применимы результаты § 37. Если же не будет дикритической точкой, то, согласно § 38 (замечание 1), задача приводится к изучению характеристик имеющих в определенную касательную. Будем исследовать уравнение (117) так же, как уравнение (108), именно: образуем трансформированные дифференциальные уравнения по отношению к различным возможным направлениям касательных в точке Получающиеся уравнения будем называть вторыми трансформированными уравнениями для (108).

Если вторые трансформации приводят к уравнениям простой формы, то проблема исследования характеристик решена, поскольку известно поведение характеристик для уравнений этого рода. Если некоторые из вторых трансформаций не имеют простой формы, то вновь повторим рассуждения, относящиеся к уравнению (117), делая указанные замены переменных вида (114) или (115) и т. д.

Какое бы число замен переменных ни делалось, всегда можно вернуться к исходному уравнению и выразить старые переменные х и у в виде полиномов от новых переменных Одна из этих переменных и или в некоторых случаях может совпадать с или у. Рассматривая последовательные преобразования, будем получать характеристики у, оканчивающиеся в с определенной касательной. Этим кривым соответствуют искомые характеристики С для уравнения в переменных х и у.

Известно (Бендиксон, стр. 72 и 75), что в результате конечного числа замен переменных указанного типа приходим к уравнениям в переменных для которых будет либо простой особой точкой, либо обыкновенной точкой.

Если в ряду трансформированных уравнений не встретится уравнение, имеющее в начале координат дикритическую точку, то для всех преобразованных уравнений начало координат будет особой точкой, в окрестности которой сами уравнения приводятся к одной из следующих простых форм:

где постоянные, и целые ряды по степеням не ниже второй степени. Все трансформированные уравнения в этом случае имеют решения или или

Однако может случиться, что в ряду трансформированных уравнений встретится уравнение, для которого начало координат будет дикритической точкой; тогда необходимо рассматривать каждую из прямых, проходящих через эту точку. Если эта прямая не особого направления, то получим уравнение, для которого будет обыкновенной точкой и это уравнение можно написать в виде

где ряд по целым степеням

Если же прямая имеет особое направление, то у трансформированного уравнения в начале координат будет особая точка, но не будет, как это видно из (111), ни решения , ни решения в отличие от тех преобразований, которые не приводят к дикритическим точкам. Изучение этого трансформированного уравнения проводится как и в случае уравнения (108).

Замечание 1. Решение или характеристику трансформированного уравнения будем называть введенным в трансформированное уравнение, если ему не соответствуют решения или характеристики исходного уравнения. Такими решениями могут быть либо либо если — переменные преобразованного уравнения. Может случиться, что новое уравнение, преобразованное относительно направления введенной характеристики, имеет простую форму и у него есть только характеристики введенного уравнения. Такое уравнение простой формы в этом случае, очевидно, не дает никаких характеристик С.

Рассмотрим, например, для уравнения (117) введенное решение Положим

и допустим, что постоянные отличны от нуля; тогда получим уравнение

где Если а то особая точка седло. Характеристики, проходящие через седло, будут Но ни та, ни другая не дают характеристик уравнения в переменных

Замечание 2. Как уже отмечалось (§ 38, замечание 1), для уравнения (117), имеющего характеристику все характеристики оканчиваются в с определенной касательной. То же самое справедливо для уравнения, преобразованного к переменным имеющего или решение или

Для преобразованного уравнения с дикритической точкой, в общем случае, этого не может быть. Уравнение с дикритической точкой не имеет ни решения ни решения на основании § 5 для него возможны следующие случаи.

1. Уравнение имеет характеристику, оканчивающуюся в с определенной касательной. Как и в случае, рассмотренном в § 38, все характеристики, оканчивающиеся в имеют в этой точке касательную.

2. фокус. Бесчисленное множество характеристик оканчиваются в особой точке, не имея касательной.

3. центр. Ни одна из характеристик не оканчивается в этой точке.

В двух последних случаях (Бендиксон, стр. 69) спирали или замкнутые кривые, окружающие переводятся в характеристики уравнения (110), проходящие через но ни одна из этих характеристик не касается в начале координат направления, которому соответствует преобразованная форма. Все эти характеристики заполняют часть узловой области. Ни одна них не будет сепаратрисой.