§ 42. Отыскание сепаратрис

Допустим, что среди характеристик, оканчивающихся в О, есть сепаратрисы. В точке О они имеют касательную и принадлежат к виду кривых, изученных в §§ 38 и 39. Если при отыскании сепаратрис не встречаются уравнения с дикритическими точками, тогда эти кривые находятся из уравнений вида (118) или (119), имеющих решение либо либо

Если же при отыскании сепаратрисы С встретится уравнение с дикритической точкой, то соответствующая характеристика не может иметь в этой точке касательную с обыкновенным направлением, в противном случае оказалась бы внутри сектора, где все характеристики оканчиваются в дикритической точке. Тоже самое должно иметь место и для С, что невозможно, поскольку С есть сепаратриса. Таким образом, в дикритическом случае имеются две возможности.

1. Характеристика касается необычного направления. В этом случае а следовательно, и С будут получаться, с помощью уравнения вида (120), для которого будет обыкновенной точкой.

2. касается особого направления, тогда сепаратриса С будет, в виде исключения, получаться при помощи уравнения типа (120), а в общем случае из уравнений вида (118) и (119), которые могут не иметь ни решения ни решения Во всех случаях, очевидно, существует конечное число уравнений вида (118), (119) или (120), которые могут дать сепаратрисы. Чтобы выделить уравнения, имеющие сепаратрисы, покажем вначале, что сепаратрисам данного уравнения (108) всегда соответствуют сепаратрисы преобразованных уравнений.

После замены точка с координатами х и у перейдет в точку с координатами Кривая С плоскости х, у преобразуется в кривую на плоскости Пусть две сепаратрисы, соответствующие ограничивающие область отталкивания

в окрестности О. Предположим, что не пересекается осью и ни ни не касаются оси в точке 0. Преобразованием кривые переводятся в характеристики плоскости Эти кривые пересекают ось соответственно в точках с координатами Если то области плоскости соответствует область ограниченная кривыми и отрезком оси Всякая характеристика уравнения в переменных заключенная в области не пересекает сегмент оси поскольку таким кривым соответствовали бы характеристики С уравнения в переменных х и у, оканчивающиеся в точке О и лежащие внутри Следовательно, будут сепаратрисами особых точек и А 2.

Если ось пересекает сектор и характеристика не касается оси то построим полупрямую с тангенсом угла наклона, равным а, ограничивающую вместе с сектор расположенный в и не содержащий внутри себя оси Применяя к сектору где полупрямая играет роль те же рассуждения, что и для получим, что будет сепаратрисой, оканчивающейся в особой точке

Если касается оси в точке О, то сделаем замену переменного рассуждая аналогично, покажем, что в плоскости кривой соответствует сепаратриса оканчивающаяся в особой точке

Таким образом, сепаратрисе С соответствует сепаратриса трансформированного уравнения, и это свойство остается справедливым, каково бы ни было число выполненных преобразований. Следовательно, если характеристика уравнений (118), (119) и (120), соответствующая сепаратрисе С, то она также будет сепаратрисой, примыкающей к точке

Если после захмены переменных приходим к уравнению вида (120), то для того, чтобы характеристика этого уравнения, проходящая через точку могла привести к сепаратрисе, необходимо (§ 37, замечание), чтобы не пересекала ось в точке Уравнение (120) трансформируется из уравнения дикритической точкой и соответствует необычному направлению в этой дикритической точке.

Если получается уравнение вида (118), то необходимо и достаточно, чтобы к было числом положительным.

Только в этом случае характеристика проходящая через точку будет сепаратрисой.

Наконец, если получается уравнение вида (119), то легко найти, согласно сказанному и 25), условия того, чтобы характеристика проходящая через точку была сепаратрисой.

Замечание 1. Приведенные выше рассуждения в случае, когда ось пересекает область и когда характеристика не касается оси будут распространяться и на случай, когда не будет сепаратрисой, при условии, что не существует никакой характеристики С, оканчивающейся в О и остающейся внутри сектора ограниченного и Характеристика соответствующая С, может быть сепаратрисой. Очевидно, что если характеристике С при помощи замены переменных ставится в соответствие сепаратриса то обратное не всегда верно.

Например, уравнение

общий интеграл которого

будет иметь в точке О узел. Полагая получим уравнение в переменных которого особая точка будет седло и прямая есть сепаратриса этого седла, тогда как соответствующая характеристика не будет сепаратрисой.

Замечание 2. Поскольку сепаратрисе трансформированного уравнения не обязательно соответствует сепаратриса уравнения в переменных х и у, полезно указать, каким образом можно выделить сепаратрисы среди характеристик уравнения, приведенного к одной из форм (118), (119) или (120).

Если обозначить совокупность двух ветвей характеристики уравнения (120), проходящих через точку то может соответствовать сепаратрисе только при условии, если (120) преобразуется из уравнения с дикритической точкой и если характеристика этого уравнения, соответствующая касается в этой дикритической точке неособого направления. Две ветви касаются ребра возврата. Чтобы характеристика уравнения в переменных х и у была

сепаратрисой, необходимо и достаточно, чтобы характеристика уравнения с дикритической точкой, заключенная между двумя ветвями соответствовала характеристике С, не оканчивающейся в 0. Легко проверить, будет ли это иметь место, если рассматривать последовательные замены переменных, которые от уравнения в переменных х и у приводят к уравнению в переменных

Рассмотрим характеристику сепаратрису уравнения (118) или (119), примыкающую к точке Чтобы соответствующая характеристика уравнения в переменных х и у была сепаратрисой, примыкающей к точке О, необходимо и достаточно, чтобы существовала по крайней мере еще одна характеристика оканчивающаяся в О и такая, что область, заключенная между была бы областью отталкивания. Эта вторая сепаратриса может быть получена только при помощи уравнений (118) или (119). Рассматривая те из этих уравнений, которые могут привести к сепаратрисам, и выполняя соответствующие замены переменных, можно определить два трансформированных уравнения простой формы (118) или (119), позволяющие найти сепаратрисы С, расположенные по разные стороны от и ограничивающие вместе с области отталкивания. Чтобы, например, узнать, дает ли уравнение сепаратрису ограничивающую вместе область отталкивания, рассмотрим все возможные сепаратрисы уравнения и найдем для каждой из них соответствующую характеристику в плоскости если она вместе с ограничивает область отталкивания, то ее можно принять за сепаратрису Исследуя уравнения можно установить принадлежит ли к границе одного или двух секторов отталкивания, или не будет сепаратрисой.