§ 3. Сепаратрисы

Всякий раз, когда речь пойдет о дуге характеристики, оканчивающейся в. точке будем подразумевать дугу, ограниченную точкой Характеристика, продолжаемая через особую точку, будет состоять из двух дуг, оканчивающихся в точке

Пусть С — характеристика, оканчивающаяся в особой точке с определенной касательной. Проведем нормаль в точке к кривой С и будем рассматривать характеристики, близкие к С, идущие в том же направлении от к что и характеристика С. Очевидно, что на этой нормали можно найти две точки лежащие по разные стороны от С, такие, что будет иметь место один из следующих трех случаев:

1) все характеристики, пересекающие оканчиваются в

2) ни одна из характеристик, отличная от С и пересекающая не оканчивается в

3) характеристики, пересекающие один из сегментов или оканчиваются в а характеристики, пересекающие другой из этих сегментов, не оканчиваются в

В первом случае будем говорить, что С лежит внутри узловой области точки

Во втором и третьем случаях будем говорить, что С есть сепаратриса особой точки Другими словами можно говорить, что С есть сепаратриса, примыкающая к точке если по крайней мере с одной ее стороны не существует характеристик, близких к С и примыкающих к

Рассмотрим круг с центром в точке настолько малого радиуса, чтобы внутри его не было никакой другой особой точки, отличной от Возьмем точку на пересечении характеристики С и границы этого круга. Предположим, что точка находится справа от наблюдателя, помещенного в точку и обращенного лицом в направлении, по которому можно достичь точки перемещаясь по С. Если характеристики, пересекающие не оканчиваются в то будем говорить, что характеристики, расположенные справа от С, не оканчиваются в . В этом случае существует характеристика оканчивающаяся в и такая, что внутри сектора, расположенного справа от С, ограниченного характеристиками не существует никакой характеристики, оканчивающейся в Если через точку этого сектора провести характеристику то она при продолжении в обе стороны выйдет из сектора. Такой сектор мы назовем сектором или областью отталкивания особой точки Характеристики, расположенные в секторе отталкивания, по своему виду напоминают ветви гиперболы, для которой роль асимптот играют характеристики Естественно рассматривать С как правое продолжение С через точку Если характеристики, пересекающие не оканчиваются в то существует характеристика оканчивающаяся в и являющаяся левым продолжением характеристики С через точку Характеристики ограничивают область отталкивания особой точки Кривые и различны, за исключением случая, о котором будем говорить позднее в § 5, когда особая точка — полуособая.

Если характеристика С не сепаратриса, то она входит в область, в которой все характеристики

оканчиваются в узловую область, или область притяжения. Очевидно, что такая характеристика не продолжаема через Чтобы продолжение было определенным, необходимо особое соглашение.

Замечание 1. Соглашение продолжать сепаратрису через точку направо означает, что все характеристики, близкие к С справа, расположены в окрестности продолженной характеристики С. Следовательно, если С есть правое продолжение С и не оканчивается в новой особой точке то далее должно рассматриваться правое продолжение С через точку . В случае, когда начальное продолжение С — правое, все последующие продолжения должны быть правыми. Если характеристики, близкие к С и расположенные справа, после прохождения в окрестности различных особых точек оканчиваются в точке то должны оканчиваться в точке и продолжения С. Отсюда следует, что характеристика С не может иметь более двух продолжений, каково бы ни было число пересекаемых особых точек.

Замечание 2. Каждая сепаратриса ограничивает две области, в которых, в общем случае, характеристики имеют различное поведение. Характеристики, близкие к сепаратрисе С и расположенные по разные ее стороны, при продолжении не остаются близкими.