§ 2. Функция соответствия в окрестности дуги характеристики, не проходящей через особые точки

Рассмотрим дифференциальное уравнение и запишем в виде

где голоморфные функции х и у в окрестности дуги уже рассмотренной характеристики . Пусть две дуги кривых, проходящих соответственно через и Сделаем следующие предположения:

1) в окрестности точки с координатами координаты любой точки и дуги голоморфные функции параметра который предположим равным нулю в точке

2) в окрестности точки с координатами координаты точки дуги голоморфные функции параметра который предполагается равным нулю в самой точке

3) характеристика уравнения (1) не касается в точке дуги

4) на дуге кривой нет особых точек уравнения (1).

Покажем, что если рассматривать характеристику С, проходящую через точку дуги отвечающую значению параметра и близкую к точке то эта характеристика встретит дугу в точке с параметром связанным с соотношением

где голоморфная функция равная нулю при

При перемещении по характеристике от точки к точке параметр входящий в (1), изменяется в конечных пределах от до поскольку на дуге нет особых точек уравнения (1). Можно предполагать, что Если рассмотреть характеристику С, проходящую при через точку лежащую на в окрестности имеющую координаты и взять переменное за параметр, то координаты точки х и у этой характеристики на основании теоремы Пуанкаре выразятся голоморфными функциями параметров в окрестности Действительно, х и у — голоморфные функции для в окрестности в окрестности Следовательно, они голоморфные функции Они будут и голоморфными функциями в силу

уравнения (1). Поэтому имеем

где выписаны только члены наинизшей степени по

Координаты точки дуги выражаются в окрестности в виде

где выписаны только члены младшей степени, а коэффициенты постоянные. Для точки пересечения характеристики С с дугой будем иметь

Определитель отличен от нуля, так как характеристика получающаяся из С при не касается в точке Поэтому на основании теоремы о существовании системы неявных функций в окрестности точки эту систему можно разрешить относительно выразив их как голоморфные функции переменного обращающиеся в нуль при Таким образом, характеристика С, проходящая через точку близкую к пересекается с дугой в точке отвечающей параметру который выражается в форме (2).

Замечание 1. Неярно предполагалось, что производные от х и у по для точек дуги не обращаются одновременно в нуль при Это всегда возможно, обыкновенная точка дуги

Замечание 2. Если есть обыкновенная точка дуги и если характеристика не касается в то параметр соответствующий точке можно рассматривать как функцию голоморфную при Это следует из того, что постоянная в (2) отлична от нуля.

Когда условия, сформулированные выше, будут выполнены, будем говорить, что имеется голоморфное соответствие между точками в которых характеристика С встречает соответственно кривые

В работе будет дано обобщение функции соответствия, найденной Пуанкаре (1881 г.) для двух последовательных точек пересечения характеристики с одной и той же кривой

Функция соответствия позволяет легко доказать теоремы Для обобщения этих теорем вначале будет изучена функция соответствия в случае, когда на дуге кривой есть особые точки. Для этого прежде всего необходимо уточнить различные типы особых точек, способы продолжения характеристики через особую точку, а также возможные типы особых циклов. Все эти вопросы на основании работ Пуанкаре и Бендиксона будут изложены в третьем параграфе. Следует только заметить, что при изложении известных результатов они группируются так, как это представляется наиболее целесообразным. Для удобства формулировок вводятся некоторые новые понятия.