§ 35. Характеристики, близкие к циклу, проходящему через несколько исключительных особых точек

Рассмотрим особый цикл , проходящий через исключительные точки и через некоторое число простых седел, которые расположены каким-либо образом между точками Пусть — две последовательно проходимые, исключительные особые точки, такие, что первая проходится в смысле а вторая в смысле когда цикл обходится в фиксированном направлении Тогда прохождение характеристики С, близкой к , в окрестности точек и седел, заключенных между ними, равносильно в отношении функции соответствия прохождению вблизи одного седла (§ 34). Следовательно, можно исключить из рассмотрения эти две точки вместе с соответствующими седлами и заменить их одним фиктивным седлом. Будем поступать, таким образом, всякий раз, когда встречаются две исключительные точки, из которых первая проходится в смысле другая — в смысле Устранением точек подобного рода можно прийти к рассмотрению как исключительных точек, расположенных последовательно, так и, в следствие выбрасывания, к точкам, которые

первоначально не были последовательны. После попарного удаления указанным способом исключительных точек, насколько это возможно, могут представиться два случая:

1) все исключительные точки устранены;

2) остались некоторые исключительные точки.

В первом случае значениям параметров соответствуют две точки пересечения характеристики С, близкой к , с кривой пересекающей . Между этими параметрами (равными нулю, когда С совпадает с имеет место зависимость

где положительные постоянные, полурегулярная функция, равная нулю при

Чтобы характеристика С была циклом, необходимо выполнение равенства Для значений близких к нулю, это возможно только в том случае, если При выполнении этих равенств все характеристики С, близкие к , есть циклы. Если же не все предыдущие условия выполнены, то характеристики С, близкие к — не циклы. Приходим к заключению § 23.

Рассмотрим второй случай, когда остается некоторое число исключительных точек. Пусть эти точки Можно всегда предполагать, что при надлежащем способе обхода цикла точка имеет тип и что другие точки встречаются в порядке их индексов. Нетрудно показать, что все эти точки имеют также тип

Действительно, если существуют точки типа то можно обозначить первую из этих точек через Две последовательные точки и проходятся — первая в смысле вторая в смысле но это противоречит предположению, поскольку все подобные пары были удалены из рассмотрения. Таким образом, все точки имеют тип

На характеристике между точками выберем точку тогда точка лежит между

Через каждую точку проведем кривую, например отрезок прямой, не касающийся

Характеристика С, которая встречает в точке близкой к будет пересекать каждую из дуг

в точке близкой к и должна будет вновь встретить в точке

Пусть значение параметра, определяющего положение на этот параметр обращается в нуль, когда С совпадает с

Между значениями согласно § 33 (замечание), имеет место соотношение вида

где постоянные, полином степени не выше такой, что полурегулярные функции, равные нулю при

Чтобы характеристика С была циклом, необходимо, чтобы но это невозможно. Действительно, отношение стремится к нулю при стремящемся к нулю, поскольку Все дроби

одновременно стремятся к нулю при стремящемся к нулю. То же самое имеет место и для их произведения. Следовательно, для близких к нулю, невозможно равенство Никакая характеристика, близкая к , не может быть циклом. Пришли к тому же заключению, что и в § 23.