§ 20. Характеристика в окрестности цикла, проходящего через одно седло

Рассмотрим особый цикл , проходящий через седло и не имеющий других особых точек. Этот цикл, согласно изложенному в §§ 3 и 19, имеет форму петли с угловой точкой в На основании § 19 можно заключить, что характеристики, близкие к , будут только те, которые расположены в области внутри . Всегда можно предполагать, что области соответствуют в окрестности часть плоскости для которой и положительны. Найдем условия, при которых в области существуют замкнутые характеристики, близкие к . Сохраним те же обозначения, что и в предыдущем параграфе. Пусть дуга кривой соответствующей сегменту Обозначим Дугу кривой соответствующей сегменту Цикл пересекает дуги в точках которые определяют на две дуги и Построим характеристику С, близкую к и продолженную в направлении Характеристика С пересекает кривую в точке с параметром и, дугу в точке с параметром и вновь пересекает с параметром Согласно § 19 имеем зависимость

Из результатов § 2 следует, что посколько на дуге кривой нет особых точек и дуги не касаются характеристики в точках

Следователей,

Это соотношение легко разрешить относительно и или Зависимость между дает функцию соответствия, связывающую параметры двух последовательных точек пересечения дуги с характеристикой С. Чтобы характеристика С была циклом, необходимо и достаточно, чтобы точки совпадали, т. е. чтобы

Очевидно, что если то это соотношение не будет удовлетворяться ни при каких значениях и, близких к нулю; следовательно, не существует замкнутых характеристик, близких к .

Если то могут представится два случая:

1) точка центр, т. е. с помощью надлежащей замены переменных (44) уравнение (15) может быть приведено к виду

В этом случае Соотношение (46) имеет вид а (47) перейдет в

Если то все характеристикиблизкие к , есть циклы. Если эти условия не удовлетворяются, то ни одна из характеристик, близких к , не может быть замкнута;

2) точка фокус. Это означает, что в интеграле (45) функции содержат члены с Покажем, что в этом случае ни одна из характеристик, близких к , не замкнута.

Соотношение (47), согласно § 18, при любом положительном а можно записать в виде

где полином по степеням и все члены

которого по отношению к и бесконечно малые порядка не выше стремится к нулю при стремящемся к нулю.

Покажем вначале, что существует целое такое, что при полином тождественно равен нулю, а полином отличен от нуля.

Тогда многочлен имеет вид где многочлен по степеням выражение (48) при обратится в

Для малых и это уравнение не имеет решений. Следовательно, не существует циклов, близких к .

Остается доказать, что такое для которого существует. Действительно, если бы для любого о многочлен был равен нулю, то левая и правая части (47) до членов степени не выше о были бы тождественны. Это означает, что правая часть не содержит членов с

Она получается, если в интеграле (45) положить Значение не имеет пикакого преимущества перед другими, так как, заменяя в дифференциальном уравнении (39), можно поставить в соответствие любое число, и вид интеграла (45) при этом сохранится. В силу этого член с и не может исчезнуть при

Дадим другое доказательство того, что Если не имеет места случай центра, то постоянные полученные в § 13, не могут быть все равны пулю.

Пусть первая из этих постоянных, отличная от нуля. Тогда уравнение рассмотренное в § 15, при имеет вид

и его интеграл, согласно § 15, будет

Если теперь написать дифференциальное уравнение (39) в виде, рассмотренном в § 16, где и заменить х и у на тогда в интеграл (45) войдет член который при в равенстве (47) сократится с соответствующими членами в левой части. В этом случае единственный

член интеграла (45) со степенью по переменному и, меньшей чем не сокращающийся в уравнении (47), будет

Следовательно, если то а если то . В результате предыдущих рассуждений приходим к выводу. Всегда можно построить внутри кольцевую область ограниченную с одной стороны циклом , такую, что в ней возможны только два случая:

1) ни одна из характеристик в А не является циклом;

2) все характеристики, расположенные в А, — циклы.

Первый из указанных случаев — общий. Для выполнения второго случая необходимо, чтобы точка была центром (постоянные с» § 2 все нули) и чтобы выполнялось бесконечное множество других условий.