§ 26. Упрощение дифференциального уравнения в окрестности исключительной особой точки

Используя результаты, установленные в § 24, запишем уравнение (66) в виде

где а — положительно; II — ряд по степеням начинающийся с членов степени не ниже Пусть единственное решение, такое, что стремится к нулю при стремящемся к нулю. Проделав замену переменного уравнение (69) приведем к виду

где полурегулярные функции в окрестности

Положим и покажем, что при надлежащем подборе уравнению можно придать вид

где функции и полурегулярные и равные нулю

при Для этого достаточно, чтобы

так же как и имеет множитель Полученное уравнение можно представить в виде и поэтому

Очевидно, что функция полурегулярная и равная нулю при

Уточним область, в которой имеет смысл рассматривать уравнение (70). Можно предполагать, что в уравнении (69) ряд сходится при и что в этой области не превосходит Члены рассматриваемого ряда (по модулю) при меньше соответствующих членов разложения по степеням выражения Заменяя в этом выражении на

будем иметь

Можно предполагать настолько малым, чтобы функции были определены при всех и чтобы для этих значений выполнялись неравенства

Каждый член разложения по степеням будет, следовательно, меньше по модулю соответствующего члена в разложении

Слагаемые, в которые входит в степени выше первой, будут равны слагаемым с той же степенью в разложении

Члены ряда получаются из членов ряда заменой выражением (71) с последующим делением на Члены ряда будут, следовательно, по модулю меньше соответствующих членов разложения Если положить

то уравнение (70) приводится к виду

При члены ряда по модулю будут меньше членов с той же степенью в разложении

Вместе с тем при и 1 имеет место неравенство где с, согласно -положительное число. Из полученного неравенства следует, что если то выражение может обратиться в нуль при значении по модулю больше того, которое удовлетворяет уравнению

Пусть есть постоянное такое, что

Если положить

то получим уравнение

Коэффициенты ряда будут при по модулю меньше соответствующих членов (74), где заменено на Заменяя одновременное в этом выражении его значением из (75), получим полагая будем иметь

Коэффициенты разложения в ряд по степеням выражения (78) служат мажорантами для функции

Уравнение (77), которое в дальнейшем будет рассматриваться, имеет смысл при Так как то область изменения можно брать от до 1. При этих условиях коэффициент при в уравнении (77) положительный, поскольку в то время как (согласно сумма абсолютных значений членов ряда меньше или равна