§ 38. Характеристики, оканчивающиеся в особой точке с определенной касательной

Сделаем в уравнении (108) замену переменного Используя обозначение (109), преобразованное уравнение можно записать в виде

Переменная должна стремиться к конечному пределу на каждой характеристике С, оканчивающейся в с касательной, отличной от оси Этот предел удовлетворяет уравнению Полагая далее

получим уравнение в переменных которое в дальнейшем будем называть трансформированным или преобразованным из (108). Характеристики этого преобразованного уравнения будем обозначать соответствующие им характеристики уравнения (108) — С. Точку обозначим Если простой корень уравнения или если этот корень кратный, но такой, что то уравнение в переменных назовем уравнением простой формы. Для него будет элементарной особой точкой. Известно, что в этих случаях существует по крайней мере одна характеристика проходящая через и отличная от Следовательно, существует по крайней мере одна характеристика С, проходящая через точку касающаяся в ней прямой

Чтобы исследовать характеристики С, проходящие через и касающиеся в этой точке оси положим

и будем отыскивать характеристики трансформированного уравнения

проходящие через точку и отличные от Такие характеристики могут существовать лишь

при условии, что есть корень уравнения Утверждать же их существование можно только в двух случаях:

1) когда u — простой корень уравнения

2) когда u — кратный корень уравнения но не обращает в нуль величину .

Все эти результаты можно сформулировать следующим образом.

Возможные направления касательных в к характеристикам, проходящим через особую точку, получаются приравниванием нулю линейных действительных множителей выражения

Если фиксировать один из этих множителей, то характеристики С, касающиеся соответствующей прямой, определяются из трансформированного уравнения, получающегося заменой переменных (114) или (115). Когда рассматриваемый линейный множитель простой или когда он кратный, но не может быть множителехм , тогда трансформированное уравнение имеет простую форму и существует по крайней мере одна характеристика С, касающаяся исследуемого направления в Если же соответствующий множитель кратный и, кроме того, будет множителем то трансформированное уравнение не имеет простой формы.

Пусть, папример, в переменных уравнение запишется в виде

где однородные полиномы степени по переменным — члены степени выше чем Чтобы определить характеристики С, нужно найти характеристики уравнения (117), проходящие через точку

Замечание 1. Уравнение (117) имеет характеристику которая оканчивается в начале координат с определенной касательной. Ввиду этого все характеристики оканчивающиеся в будут иметь в этой точке определенную касательную и могут быть найдены при дальнейшем исследовании уравнения (117). То же самое относится и к уравнению (116).

Замечание 2. Решение уравнения (117) не дает характеристик С. Чтобы отличить это решение от

других решений уравнения (117), приводящих к характеристикам С, будем называть его решением, введенным при помощи преобразования Аналогично уравнение (116) имеет решение которое также будет введенным решением.