§ 15. Исследование частного вида уравнения при рациональном «лямбда»

Прежде чем рассматривать вопрос об общем интеграле уравнения (36) в случае рационального исследуем вначале частный вид дифференциального уравнения

где — постоянные, целое, которое в общем случае равно 1. Для дальнейшего достаточно рассмотреть случай, когда с — полином по степеням хруч, но в рассуждениях ничего не изменится, если с предполагать рядом по этим переменным. Пусть с удовлетворяет условию т. е.

Тогда в силу теоремы из § 14 уравнение (37) имеет общий интеграл вида

Найдем аналитические выражения для коэффициентов Полагая

уравнение (37) преобразуем к виду

Общий интеграл этого уравнения можно найти в форме

Функция удовлетворяет уравнению

Действительно, из общих теорем существования следует наличие у рассматриваемого уравнения интеграла такого, что Этот интеграл можно представить в виде ряда по степеням с коэффициентами, зависящими от причем ряд сходится в окрестности точки Коэффициенты последовательно определяются уравнениями

Полагая находим, что имеет множителем Легко убедиться, что все последующие функции содержат множитель Следовательно, имеет вид

где многочлены или степенные ряды по в зависимости от того, будет ли с мпогочленом или рядом. У ряда можно перегруппировать члены, расположив их по степеням и; тогда

где многочлены по степени не выше и не имеющие свободного члена. Если в заменить то интеграл будет тождествен интегралу поскольку оба при

обращаются в у. Следовательно,

где многочлен по степени не выше