§ 29. Общий интеграл дифференциального уравнения, имеющего приведенную форму

Предположим, что дифференциальное уравнение (77) приведено к виду (81)

где определены для и являются полурегулярными функциями при Покажем, что в этом случае общий интеграл (85) можно представить в виде

где ограниченные функции при Очевидно, что эти функции остаются конечными, когда ибо Чтобы исследовать их при рассмотрим уравнение

которому должна удовлетворять функция Обозначим через выражение и положим

Функция удовлетворяет уравнению

поэтому для коэффициентов должны быть справедливы равенства

Допустим, что для ограниченность доказана. Покажем, что также ограничена. Если обозначим функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

где ограниченная функция при . В соответствии со сказанным ранее достаточно показать, что остается ограниченной при стремящимся к нулю. Доказательство для будет непосредственно получаться тем же методом, что и для

Пусть таково, что при имеет место неравенство

Можно найти два числа и построить прямоугольник со сторонами . В такой, что при кривая

лежит внутри этого прямоугольника. Часть плоскости заключенная между прямыми делится на три области: область I, для которой область III, для которой и область II внутри прямоугольника.

Рассмотрим характеристику уравнения (87) для уменьшающихся от до 0. Пусть точка этой характеристики с координатами х, у. Если все время остается внутри области I, то у будет убывать и стремиться при стремящемся к вулю, к конечному пределу, большему или равному А. Если все время остается в области III, то у будет возрастать и стремиться при стремящемся к нулю, к конечному пределу, меньшему или равному В. Приняв во внимание, что каждая характеристика, проходящая через точки прямых входит в область убывающих придем к заключению, что каждая

характеристика, которая не остаётся в области в области III, остается в области II и, следовательно, остается ограниченной при

Можно установить более точный результат и показать, что когда стремится к нулю, у стремится к конечному пределу, равному ординате точки пересечения оси с кривой (88).