§ 16. Структура общего интеграла в случае рационального «лямбда»

Рассмотрим уравнение

где

— постоянные, функции переменного Пусть . Положим

Предположим, наконец, что функция удовлетворяет условию Общий интеграл (38) в силу теоремы § 14 напишется в виде

удовлетворяет уравнению

Согласно § 15 функция

удовлетворяет уравнению

Поэтому, если положить

то для получим дифференциальное уравнение

Будем искать функцию в виде

где

Коэффициенты находятся из уравнений

где зависят от коэффициентов функций , а также от тех для которых Найдем мажоранты функций заменив соответствующими мажорантами. Для этого построим функцию

где мажоранты для при изменяющемся от нуля до единицы. Существование такой функции было показано в § 14. Построим ряд

с неотрицательными при коэффициентами и такой, чтобы он удовлетворял дифференциальному уравнению

где мажоранта для Это уравнение имеет вид (35) и к нему применимы рассуждения из § 14. Поэтому ряд, представляющий функцию сходится при и Следует заметить, что при функции как и функции

Поэтому нули.

Таким образом, используя результаты из и 15, приходим к следующей теореме.

Дифференциальное уравнение

где полином степени по хруч и функция хтуа(х, у) удовлетворяет условию имеет общий интеграл вида

Функции полиномы по степени, не превосходящей индекса имеет вид

где функции одного только и ряд сходится при