§ 48. Функция соответствия в одном частном случае

Установим функцию соответствия для области отталкивания сложной особой точки при следующих предположениях:

1. особая точка. В этой точке наряду с другими оканчивается характеристика и характеристика касающаяся в О оси со стороны положительных

2. Характеристика и положительная часть оси ограничивают сектор отталкивания особой точки О. В области, расположенной справа от оси и выше нет характеристик, оканчивающихся в О.

3. Если положить упхп, где натуральное число, то стремится к нулю при стремящемся к нулю по характеристике Кроме того, для дифференциального уравнения в переменных точка будет элементарной особой точкой.

Напишем рассматриваемое дифференциальное уравнение в уже знакомой нам форме (135)

Возьмем на положительной части оси точку и на характеристике точку так, чтобы на дугах характеристик которые в совокупности обозначим через , не было особых точек, отличньс от О. Через точку проведем дугу 5, например прямую Через точку проведем дугу например прямую Пусть С — характеристика уравнения (141), проходящая через точку расположенную на дуге и имеющую абсциссу, равную Легко доказать (рассуждая так же как в лемме § 46), что если достаточно мало, то характеристика С, начинающаяся в точке и следующая в надлежащем направлении, пересечет дугу в точке так же достаточно близ кой к

Этот результат также вытекает из работы Бендиксо на (стр. 23). Пусть длина дуги определяющей положение точки

Выражение не может быть тождественным нулем, так как точка О не может быть

дикритической. Среди действительных или мнимых прямых, полученных приравниванием этого выражения к нулю, имеется некоторое число прямых с положительными угловыми коэффициентами.

Пусть — эти коэффициенты, записанные в порядке убывания. Обозначим через полупрямые, расположенные со стороны положительных и имеющие положительные угловые коэффициенты такие, что

В секторе, заключенном между двумя последовательными прямыми лежит одна прямая угловой коэффициент которой удовлетворяет уравнению Если достаточно мало, то точка лежит над прямой и точка лежит под прямой Достаточно нарисовать чертеж, чтобы увидеть, что дуга характеристики С пересекает все прямые Пусть есть абсцисса точки точки пересечения характеристики С с полупрямой Для нахождения зависимости между параметрами определяющими положение точек найдем:

1) зависимость между

2) зависимость между

3) зависимость между

1. Зависимость между Установим, например, зависимость между Положим Согласно сделанным предположениям особая точка уравнения в переменных обладают следующими свойствами:

а) уравнение имеет характеристику

б) уравнение не имеет характеристик, расположенных со стороны положительных и оканчивающихся в точке

Следовательно, имеем случай, разобранный в § 46. Если обозначить через характеристику уравнения в переменных и 2, соответствующую характеристике С, то будут абсциссами точек пересечения характеристики С с прямыми . На части характеристики заключенной между этими прямыми, нет других особых точек, отличных от точки Поэтому в силу § 47 известна зависимость между и вообще между

2. Зависимость между Положим тогда получим уже знакомое уравнение вида (136)

Рассмотрим вначале случай, когда элементарная особая точка.

Пусть характеристика уравнения (142), которой соответствует характеристика С уравнения (141). Значения абсцисс точек пересечения характеристики С с прямыми определяют положение точек пересечения характеристики с прямыми Уравнение (142) имеет две характеристики: На отрезках этих характеристик, отсекаемых прямыми есть только одна особая точка которую будем считать элементарной; тогда известна зависимость между

Чтобы освободиться от предположения, что есть элементарная особая точка уравнения (142), нужно провести такие же рассуждения, как и, в § 47.

3. Зависимость между Положим тогда получим уравнение

имеющее особую точку Через эту точку проходит характеристика и дуга характеристики соответствующая дуге характеристики уравнения (137). Область, расположенная справа от и выше есть область отталкивания. Характеристике С уравнения (141) соответствует характеристика уравнения (143). Кривая С пересекает прямую в точке с абсциссой и прямую в точке такой, что Эти параметры определяют положение точек пересечения характеристики с прямыми в плоскости Если будет элементарной особой точкой уравнения (143), то зависимость между определяется непосредственно. Действительно, на кривой, образованной отрезком оси заключенным между прямыми и дугой характеристики заключенной между нет особых точек, отличных от

Предположим теперь, что не будет элементарной особой точкой. Уравнение (143) удовлетворяет всем свойствам, перечисленным вначале § 47, нужно только заменить на на на Следовательно, к уравнению (143) применимы рассуждения, относящиеся к уравнению (141). Обозначим через число, играющее для уравнения (143) такую же роль, как в (141), и получим зависимость между точками пересечения С с прямыми Продолжив такие замены далее, положим, наконец, обозначив характеристику, которая в плоскости соответствует характеристике С, найдем зависимость между абсциссами точек пересечения характеристики с прямыми Из этой зависимости найдем соотношения, связывающие точки пересечения характеристики С с последовательностью кривых в плоскости Когда после замен придем к уравнению в переменных причем, по предположению, для этого уравнения точка будет элементарной особой точкой, получим зависимость между абсциссой точки пересечения С с кривой и параметром у, определяющим положение точки пересечения С с прямой

Заключение. Зависимость между значениями определяющими положение точек пересечения характеристики с двумя прямыми получается в результате использования соотношений, установленных в п.п. 1, 2, 3. Эти соотношения имеют такую же форму, как та, которая встречается при рассмотрении характеристик, проходящих в окрестности элементарных особых точек. Таким образом, приходим к заключению, что прохождение характеристики в окрестности рассматриваемой особой точки эквивалентно с точки зрения функции соответствия прохождению характеристики последовательно в окрестности некоторого числа элементарных особых точек.

Замечание. Установлена функция соответствия между точками пересечения характеристики С с прямыми Однако эта функция будет абсолютно той же самой, если прямую заменить кривой определяемой уравнением и пересекающей ось в такой точке, что на части оси заключенной между нет особых точек

уравнения (141). Пусть голоморфна при тогда между абсциссами точек пересечения С с существует голоморфное соотношение

где а — постоянная и голоморфная функция, равная нулю при