§ 43. Замечания о случаях, встречающихся при исследовании сепаратрис

Чтобы исследовать характеристику С, имеющую в О касательную, сделаем замену переменных типа указанного в § 39 и получим преобразованное уравнение в переменных . Кривой С в плоскости соответствует характеристика проходящая через точку

Будем говорить, что сепаратриса С изолируется рассматриваемой заменой, если соответствующее уравнение имеет одну из форм (118), (119) или (120).

Если две характеристики проходят через О, но не имеют в этой точке общей касательной, то будем говорить, что характеристики разделены. Две характеристики назовем разделимыми заменой переменных, приводящей уравнение к виду если две характеристики проходят через точку но не имеют в ней общей касательной.

Из результатов § 42 следует, что сепаратриса С всегда может быть изолирована. Если уравнение имеет вид (120), то, кроме оно не имеет никакой характеристики, проходящей через точку Если же вида (118) или (119), то оно имеет характеристику соответствующую С, и еще характеристику или которые в общем случае будут введенными.

Покажем, что две сепаратрисы имеющие общую касательную и ограничивающие область отталкивания особой точки О, всегда можно разделить.

Будем предполагать, что в процессе разделения сепаратрис не встретится случай приводимости, так как от него можно избавиться заменой на где некоторое целое положительное число. Предположим, что такое преобразование в случае надобности выполнено. Тогда останутся лишь два возможных случая: нормальный и неприводимый. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

Пусть две сепаратрисы такие, что при изоляции каждой из них имеет место нормальный случай. Обозначим

замены переменных, изолирующие каждую из этих сепаратрис. Здесь полиномы степени соответственно не выше Члены первой степени в полиномах совпадают, поскольку имеют общую касательную в точке О. Докажем предварительно, что не могут быть равны тождественно. Допустим противное: пусть следовательно, тогда заменой переменного будет установлено соответствие двум сепаратрисам и преобразованного уравнения изолирующего Обе эти кривые проходят через точку

Уравнение не может быть вида (120), так как последнее имеет только одну кривую, проходящую через точку Следовательно, оно будет или вида (118) или вида (119). Допустим, для определенности, что расположены по одну сторону от осн например со стороны положительных Тогда соответствующие сепаратрисы также расположены в плоскости со стороны положительных Уравнение вида (118) или (119) имеет характеристику и если одна из характеристик, расположенных справа от оси есть сепаратриса, то других характеристик, проходящих через точку расположенных со стороны положительных быть не может. Кривые не могут быть сепаратрисами.

Следовательно, два полинома различны. Предположим, что они имеют различные члены, начиная с порядка не ниже чем в то время как члены степени меньше чем тождественны между собой. Пусть полином, образованный этими одинаковыми членами. Полагая

Получим преобразованное уравнение в переменных Сепаратрисам будут соответствовать сепаратрисы проходящие через точку но не имеющие в этой точке общей касательной. Следовательно, разделимы, причем они имеют в точке О касание порядка

Замечание. Общую замену переменных (124), приводящую уравнение в переменных х и у к виду в переменных можно рассматривать как результат последовательных замен вида

Что касается замен переменных, которыми уравнение приводится к форме, изолирующей С и то их можно представить таким же образом, полагая

У равнения, получающиеся при последовательной замене переменных, соответствующие могут иметь в дикритическую точку, а при особая точка дикритической быть уже не может.

Действительно, сепаратрисам соответствуют в плоскости переменных характеристики и

Кривая сепаратриса примыкающая к точке Области отталкивания, ограниченной в плоскости кривыми соответствует в плоскости область, ограниченная кривыми если и область, ограниченная кривыми и отрезком оси если . В последнем случае эта область такова, что в ней можно провести бесконечно много векторов, начинающихся в точке Если при каком-либо точка оказалась бы дикритической, то существовали бы характеристики касающиеся в этой точке каждого из этих векторов и расположенные в исследуемой области. Каждой из таких кривых соответствовала бы в плоскости характеристика, оканчивающаяся в точке О и расположенная в области отталкивания, заключенной между и Полученное противоречие показывает, что ни уравнение ни те уравнения, которые из него получаются путем преобразований, не могут иметь в начале координат дикритическую точку. Отсюда, в частности, следует, что каждое из преобразованных уравнений, которые получаются из для изоляции или имеет характеристику