§ 45. Преобразование уравнения относительно интегралов, касающихся оси x=0

Можно всегда предполагать, изменяя в случае необходимости направление координатных осей, что не будет возможным направлением касательных в точке О для характеристик уравнения (108). Таких предположений в отношении уравнений, преобразованных из (108) и имеющих, вообще говоря, решение делать уже нельзя. При изучении функции соответствия потребуется рассматривать уравнения, преобразованные относительно действительных или комплексных идтегралов, касающихся оси и удовлетворяющих уравнениям, полученным из (108) заменой переменных. Рассмотрим уравнение

Очевидно, оно имеет решение Чтобы исследовать действительные или комплексные интегралы, касающиеся оси в точке О, положим Тогда получим уравнение, имеющее ршения которое можно записать в виде

где однородные полиномы степени представляющие собой члены наименьшей степени в коэффициентах при Если не делать никаких дополнительных предположений, то может быть произвольным положительным целым числом, но если предположить, что сделана замена переменных где целое число, позволяющая избавиться от случая приводимости в интегралах уравнения (127), касающихся оси то для возможно только одно значение уравнение (128) должно быть простой формы. При доказательстве этого утверждения будем опираться на следующую теорему, в которой рассматриваются как мнимые, так и действительные интегралы. Для интегралов, изучаемых в этом параграфе, могут стремиться к нулю и по комплексным значениям. Отношение при стремящихся к нулю, может стремиться как к комплексному, так и к действительному пределу.

1. Если особая точка порядка т.е. если в уравнении

ряды начинаются с однородных многочленов по степени то существует не менее различных интегралов, проходящих через точку

2. Если исключительная особая точка, т. е. если дифференциальное уравнение в переменных х и у имеет вид (119), то существует бесконечно много интегралов, для которых х и у одновременно стремятся к нулю.

Итак, покажем, что при сделанных предположениях Поскольку исключается случай приводимости, то интегралы, касающиеся оси могут быть только при условии, что встретится случай неприводимости. Выполним последовательно замены переменных

На любом шаге будут получаться уравнения, обладающие тем свойством, что для каждого интеграла, проходящего через начало координат, отношение

стремится к конечному пределу, или нулю, когда стремятся к нулю.

Покажем невозможность того, чтобы в получаемых уравнениях члены с наинизшей степенью по переменным в коэффициентах при все время имели бы порядок Действительно (§ 45), эти замены переменных приводят к уравнению, для которого будет особой точкой первого порядка, что соответствует степени . С другой стороны, покажем, что если точка для уравнения в переменных будет особой точкой порядка меньше чем то будет иметь место приводимый случай. Из полученного противоречия будет следовать, что

Для доказательства достаточно рассмотреть уравнение в переменных Предположим, что порядок особой точки меньше чем Предварительно установим тождество

где с — постоянная. Действительно, если это тождество не имеет места, то заменой переменного уравнение преобразуется к виду

Равенство

выполняется по крайней мере для одного Докажем, что существует хотя бы один интеграл такой, что стремится к а, когда стремится к нулю, тем самым будет показано, вопреки нашему предположению, что имеет место приводимый случай и тождество (129) будет установлено.

Если и то существует голоморфный в точке интеграл уравнения (130) и такой, что Если и причем есть корень порядка уравнения (131), то, полагая в уравнении получим

где полиномы ряды по целым степеням Можно всегда

предполагать, что начинается с членов не ниже второй степени. Если это не имеет места, то, полагая получим требуемое свойство. Таким образом, приходим к рассмотрению двух случаев уравнений в переменных

1. точка исключительная особая точка.

2. точка особая точка порядка выше первого.

В обоих случаях существуют интегралы стремящиеся к нулю при стремящемся к нулю.

Если то будет исключительной особой точкой уравнения (130). Для тогда будет особой точкой порядка выше первого. В этих двух последних случаях существуют интегралы отличные от для которых стремится к нулю при стремящемся к нулю.

Тождество (129), таким образом, доказано. В силу этого, если положить то уравнение (128) приведется к виду

где целое число, меньшее или равное полином по ряды по целым степеням причем

Поскольку предполагаем, что особая точка имеет порядок меньше чем то наименьшая степень членов в скобках будет меньше Для этого необходимо, чтобы или же чтобы выражения или начинались с членов степени, меньшей чем Рассмотрим в отдельности каждый из этих случаев.

Если то заменой переменного уравнение (132) преобразуется к виду

где ряды по целым степеням Так как то исключительная особая точка уравнения (133). Если но разложение или в ряд начинается с членов

степени, меньшей чем можно, обозначая этй соответственно через написать уравнение (132) в виде

Положив получим уравнение

в котором функции имеют множителем

Функции, стоящие в каждой из скобок, начинаются по крайней мере с членов первой степени по особая точка будет иметь порядок выше первого. Следовательно, чтобы у уравнения (133) или (134) существовал по крайней мере один интеграл, отличный от который бы стремился к нулю при стремящемся к нулю, должен иметь место приводимый случай. Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Если при исследовании действительных или комплексных интегралов уравнения (127), проходящих через точку и касающихся в ней оси не может иметь места приводимый случай, то для уравнения, полученного при помощи подстановки точка будет простой особой точкой.

Случай, когда дикритическая, невозможен,