ЧАСТЬ 4. ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ

§ 52. Характеристики, близкие к особой точке, в которой ни одна характеристика не оканчивается с определенной касательной

Покажем, что на этот случай можно распространить все предыдущие рассуждения, если точку О рассматривать как выродившийся цикл. Все характеристики в окрестности такой точки либо циклы, окружающие ее, либо спирали, приближающиеся к О в одном направлении.

Чтобы установить этот результат, примем особую точку О за начало координат и уже рассмотренное ранее дифференциальное уравнение (144) запишем в виде

Выражение может, как и в § 49, иметь линейные действительные множители но не существует ни одной характеристики, проходящей через О и касающейся в этой точке прямой

Рассмотрим, как и в § 49, полупрямые, удовлетворяющие уравнению и присоединим к ним две полупрямые, совпадающие с двумя полуосями Пусть эти полупрямые, занумерованные в одном и том же порядке вращения вокруг О, начиная с одной из них. Индекс принимает значения Проведем между двумя последовательными полупрямыми полупрямые Полупрямая тождественна с Если положим и рассмотрим уравнение (145), тогда характеристике этого уравнения соответствует характеристика С

уравнения (144), и рассуждениями, подобными тем, что проделаны в лемме § 46, покажем, что есди С пересекает прямую в точке достаточно близкой к О, то она пересечет и в точке которая также будет близка к О. Характеристика С, пересекающая вновь пересечет совпадающую с в точке Характеристики, близкие к С, будут циклами, если совпадает с и спиралями, если различны.

Чтобы различить, какой из этих случаев будет иметь место, заметим, что, рассуждая как и в § 49, получим зависимость между и где На основании полученных результатов между величинами определяющими положение двух последовательных точек пересечения С с получается соотношение такой же природы, как и соотношение между параметрами, определяющими последовательные точки пересечения кривой с характеристикой С, близкой к Заключение § 51 применимо и в этом случае. В общем случае характеристики С, близкие к О, есть спирали, которые в определенном направлении приближаются к О.

Если же выполняются дополнительные условия, одни алгебраические, другие трансцендентные, то все характеристики, близкие к будут циклы, окружающие О. Пусть дан круг с центром в точке О и достаточно малым радиусом, тогда существует бесконечно много циклов внутри этого круга. В первом случае точка фокус, во втором — центр.