ЧАСТЬ 4. ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ
§ 52. Характеристики, близкие к особой точке, в которой ни одна характеристика не оканчивается с определенной касательной
Покажем, что на этот случай можно распространить все предыдущие рассуждения, если точку О рассматривать как выродившийся цикл. Все характеристики в окрестности такой точки либо циклы, окружающие ее, либо спирали, приближающиеся к О в одном направлении.
Чтобы установить этот результат, примем особую точку О за начало координат и уже рассмотренное ранее дифференциальное уравнение (144) запишем в виде
Выражение 
может, как и в § 49, иметь линейные действительные множители 
но не существует ни одной характеристики, проходящей через О и касающейся в этой точке прямой 
Рассмотрим, как и в § 49, полупрямые, удовлетворяющие уравнению 
и присоединим к ним две полупрямые, совпадающие с двумя полуосями 
Пусть 
эти полупрямые, занумерованные в одном и том же порядке вращения вокруг О, начиная с одной из них. Индекс 
принимает значения 
Проведем между двумя последовательными полупрямыми 
полупрямые 
Полупрямая 
тождественна с 
Если положим 
и рассмотрим уравнение (145), тогда характеристике 
этого уравнения соответствует характеристика С
уравнения (144), и рассуждениями, подобными тем, что проделаны в лемме § 46, покажем, что есди С пересекает прямую 
в точке 
достаточно близкой к О, то она пересечет и 
в точке 
которая также будет близка к О. Характеристика С, пересекающая 
вновь пересечет 
совпадающую с 
в точке 
Характеристики, близкие к С, будут циклами, если 
совпадает с 
и спиралями, если 
различны.
Чтобы различить, какой из этих случаев будет иметь место, заметим, что, рассуждая как и в § 49, получим зависимость между и 
где 
На основании полученных результатов между величинами 
определяющими положение двух последовательных точек пересечения С с 
получается соотношение такой же природы, как и соотношение между параметрами, определяющими последовательные точки пересечения кривой 
с характеристикой С, близкой к 
Заключение § 51 применимо и в этом случае. В общем случае характеристики С, близкие к О, есть спирали, которые в определенном направлении приближаются к О.
Если же выполняются дополнительные условия, одни алгебраические, другие трансцендентные, то все характеристики, близкие к 
будут циклы, окружающие О. Пусть дан круг с центром в точке О и достаточно малым радиусом, тогда существует бесконечно много циклов внутри этого круга. В первом случае точка 
фокус, во втором — центр.
