§ 53. Бесконечно удаленные точки

Хотя выражение «цикл» и «замкнутая кривая» кажутся неприменимыми к характеристикам, имеющим бесконечные ветви, однако результаты предыдущих глав можно распространить и на случай характеристик, имеющих бесконечно удаленные точки. Действительно, томографическим преобразованием можно установить соответствие такой характеристики с кривой, не имеющей точек на бесконечности. Изучение характеристик, имеющих бесконечно удаленные точки, ничем не отличаются от характеристик, которые остаются в конечной части плоскости. При этом имеется в виду не простое перенесение рассуждений на бесконечно удаленные точки. Чтобы доказать, что существует конечное число

предельных циклов для уравнения

где многочлены по , необходимо рассмотреть и характеристики, проходящие через бесконечно удаленные точки.

Будем предполагать, что полиномы степени Члены степени в этих многочленах обозначим через и а члены степени пусть будут Положим

Для исследования бесконечно удаленных точек в направлении оси положим

Уравнение (148) примет вид

где . У этого уравнения нужно исследовать точку

Чтобы изучить бесконечно удаленные точки в направлении, отличном от положим тогда уравнение (148) сведется к виду

где Для исследования бесконечно удаленной точки в направлении положим и рассмотрим точку и

Уравнения (149) и (150) различны, если Если же В(х, у) то положим

тогда уравнения (149) и (150) преобразуются к виду

где

Точку на бесконечности будем называть «обыкновенной», «особой», «седлом», «узлом» и т. д., если соответствующая ей точка для уравнений (149) и (151) или точка для уравнений (150) и (152) будет

«обыкновенной» точкой, «особой» точкой, «седлом», «узлом» и т. д.

Очевидно, что если то уравнение в переменных имеет характеристику и поэтому соответствующая точка на бесконечности будет или обыкновенной, и через нее будет проходить единственная характеристика или особой, но тогда она не может быть ни центром, ни фокусом. Для того чтобы бесконечно удаленная точка в направлении была особой, необходимо и достаточно, чтобы

Если то из уравнений (151) и (152) следует, что бесконечно удаленная точка в направлении будет особой в том и только том случае, если

Эта особая точка не интересна для дальнейшего.

Рассмотрим уравнение в переменных и исследуем точку Пусть и две дуги характеристики, оканчивающиеся в образующие или две ветви одной характеристики проходящих через обыкновенную точку или ограничивают область отталкивания особой точки Характеристики будут в обоих случаях продолжением одна другой. Этим двум характеристикам соответствуют в плоскости две бесконечные ветви характеристик, которые, естественно, будем рассматривать как продолжение одна другой и считать, что они образуют одну характеристику С.

Предположим вначале, что точка которую в дальнейшем будем обозначать есть обыкновенная точка. Возьмем в плоскости две дуги кривых пересекающих соответственно в точках Эти точки будут таковы, что на дуге характеристики нет особых точек. За можно всегда взять прямые или Если в плоскости рассмотрим характеристику близкую к то между точками пересечения характеристики с дугами будет существовать голоморфное соотношение. Характеристике соответствует в плоскости характеристика которую будем называть характеристикой, близкой к С. Дугам соответствуют

кривые точкам точки Параметры, которые определяют положение а следовательно, будут связаны голоморфным соотношением. В этом случае будем говорить, что имеется голоморфное соответствие между точками пересечения Если характеристика не касается в точке прямой или если она касается пересекая ее в этой точке, то кривая С имеет две ветви на бесконечности.

Если касается в точке прямой и не пересекает ее в этой точке, то характеристики расположенные по одну сторону от С, будут иметь две ветви на бесконечности, а характеристики расположенные с другой стороны С, не имеют бесконечных ветвей вблизи бесконечных ветвей С.

Предположим теперь, что особая точка, и пусть Две сепаратрисы, ограничивающие область отталкивания этой точки. Рассмотрим характеристику близкую к и расположенную в области отталкивания, ограниченной Проведем, как и выше, кривые пересекающие и в точках так, что на дуге кривой нет других особых точек, отличных от Форма зависимости между параметрами, определяющими положение точек пересечения характеристики с дугами известна. Рассматривая на плоскости характеристику соответствующую получим функцию соответствия между точками пересечения кривой С с соответствующим

Из предыдущего следует, что «циклом» можно назвать характеристику, имеющую две бесконечные ветви, при условии, что если, удаляясь в бесконечность по одной ветви кривой, переходя затем в бесконечности на характеристику, которая является продолжением данной бесконечной ветви, перемещаясь все время в одном и том же направлении, возвращаемся в исходную точку, не пересекая при этом узловых областей особых точек.

В частности, можно рассматривать особые циклы, имеющие точки на бесконечности. Эти точки на бесконечности могут быть либо обыкновенными, либо особыми. В последнем случае на цикле может лежать часть бесконечной прямой.

Рассмотрим особый цикл и характеристики С, близкие к . Если кривая пересекает в точке и характеристику С последовательно в двух точках то соотношение между точками в силу предыдущих рассуждений имеет одну и ту же формулу независимо от того, имеет ли точки на бесконечности, или она лежит полностью в конечной части плоскости. В результате этого все рассуждения предыдущих глав применимы и к обобщенному понятию цикла.